Ribja krivulja

Ribja krivulja ima obliko ribe.

Ribja krivulja je negativna nožiščna krivulja elipse, ki ima nožiščno točko v fokusu posebnega primera elipse z izsrednostjo enako $e^{2}={\frac {1}{2}}$ .

Njena oblika je podobna ribi in zato ima tudi takšno ime.

V kartezičnem koordinatnem sistemu je enačba ribje krivulje:

$(2a^{4}+y)^{2}-2{\sqrt {2}}ax(2x^{2}-3y^{2})+2a^{2}(y^{2}-x^{2})=0\!\,.$

Če pa bi izhodišče premaknili do vozla, pa bi enačba imela obliko: $(2x^{2}+y^{2})^{2}+2{\sqrt {2}}ax(2x^{2}-3y^{2})+2a^{2}(y^{2}-x^{2})=0$ .

Za elipso, ki ima parametrično obliko enačbe:

$x=\arccos(t)-{\frac {\arcsin ^{2}(t)}{\sqrt {2}}},y=\arccos(t)\sin(t)$

ima njena ribja krivulja obliko:

$x=\cos(t),y={\frac {\arcsin(t)}{\sqrt {2}}}\!\,.$

Ploščina

Ploščina ribje krivulje je dana z:

${\begin{aligned}p&={\frac {1}{2}}\left|\int (xy'-yx')\mathrm {d} t\right|\\&={\frac {1}{8}}a^{2}\left|\int \left[3\cos(t)+\cos(3t)+2{\sqrt {2}}\sin ^{2}t\right]\mathrm {d} t\right|\!\,.\end{aligned}}$

Pri tem pa je ploščina samo repa enaka:

$\mathbf {p} _{rep}=\left({\frac {2}{3}}-{\frac {\pi }{4{\sqrt {2}}}}\right)a^{2}$

ploščina celotne glave pa je:

$\mathbf {p} _{glava}=\left({\frac {2}{3}}+{\frac {\pi }{4{\sqrt {2}}}}\right)a^{2}$

Kar da za ploščino celotne ribje krivulje vrednost: $p={\frac {4}{3}}a^{2}$ .

Ukrivljenost

Ukrivljenost ribje krivulje je podana z obrazcem:

$K(t)={\frac {2{\sqrt {2}}+3\cos(t)-\cos(3t)}{2a[\cos ^{4}t+\sin ^{2}t+\sin ^{4}t+{\sqrt {2}}\sin(t)\sin(2t)]^{\frac {3}{2}}}}$.

Tangentni kot

Tangentni kot ribje krivulje je:

$\varphi (t)=\pi -\arg \left({\sqrt {2}}-1-{\frac {2}{(1+{\sqrt {2}})e^{it}-1}}\right)\!\,,$

kjer je

• $\arg(z)$ kompleksni argument (funkcija, ki deluje nad kompleksnimi števili).

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Fish Curve«. MathWorld.