Brahistokrona

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Brachistochrone.png

Brahistokrona (tudi brahistohrona, grško βραχίστος: brahistos - najkrajši + χρόνος: kronos - čas) je ravninska krivulja, po kateri masna točka z začetno hitrostjo iz neke točke (A) pride v drugo točko (B) v najkrajšem času pod pogojem, da nanjo deluje konstanten gravitacijski pospešek in da trenje ni prisotno.

Brahistokrona je cikloida[uredi | uredi kodo]

Postavimo izhodišče koordinatnega sistema z vodoravno osjo x in navpično osjo y v začetno lego drobnega telesa. Po Huygensovi enačbi ali po izreku o kinetični in potencialni energiji je:

Za čas, ki ga potrebuje telo iz začetne do končne točke, dobimo:

če je kvadrat elementa ločne dolžine. Določiti moramo tir y(x), pri katerem je pri dani začetni in končni točki čas t najkrajši. Takšne naloge sodijo v variacijski račun. Rešitev je cikloida, parametrično:

Krivuljo dobimo, če si mislimo, da se krog s polmerom r kotali po spodnji strani x. Hitro ugotovimo, da je:

in čas:

Zgodovina[uredi | uredi kodo]

Problem brahistokrone je postavil Johann Bernoulli in zanj leta 1696 prvi objavil rešitev, ki pa naj bi bila v resnici rešitev njegovega brata Jakoba.[1] Spada med variacijske probleme, Johann Bernoulli pa velja za očeta variacijskega računa. Splošno nalogo za brahistokrono je rešil Leonhard Euler leta 1774.

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ Weisstein, Eric W. ""Brachistochrone Problem"". MathWorld--A Wolfram Web Resource. Pridobljeno dne 2009-03-15.