Krožna algebrska krivulja

Krožna algebrska krivulja je v geometriji vrsta ravninske krivulje, ki je določena z enačbo $F(x,y)=0|,$ kjer je $F\,$ polinom z realnimi koeficienti in najvišja stopnja $F\,$ tvori polinome, ki so deljivi z $x^{2}+y^{2}\,$. Bolj točno to pomeni, če velja $F=F_{n}+F_{n-1}+\ldots +F_{1}+F_{0}\,$, kjer je vsak $F_{i}\,$ homogen stopnje $i\,$. V tem primeru je krivulja $F(x,y)=0\,$ krožna samo, če in samo če je $F_{n}\,$ deljiv z $x^{2}+y^{2}\,$.

Če je funkcija določena v homogenih koordinatah z $G(x,y,z)=0\,$, kjer je $G\,$ homogeni polinom, je krivulja krožna le, če je $G(1,i,0)=G(1,-i,0)=0\,$, ali z drugimi besedmi, krivulja je krožna, če vsebuje krožne točke v neskončnosti $(1,i,0)\,$ in $1,-i,0)\,$, če se jo obravnava kot krivulja v kompleksni projektivni ravnini.

Večkrožne algebrske krivulje

Algebrska krivulja je p-krožna, če vsebuje točke $(1,i,0)\,$ in $(1,-i,0)\,$, ko se jo obravnava kot krivuljo v kompleksni projektivni ravnini. Te točke so singularnosti reda najmanj $p\,$. Izraz dvokrožen, trikrožen itd. se dobi kadar je $p=2,3,\ldots \,$. V skladu z zgornjimi opisi je krivulja $F(x,y)=0\,$ p-krožna, če je $F_{n-1}\,$ deljiv z $\left(x^{2}+y^{2}\right)^{p-1}\,$, kadar je $i<p\,$. Kadar je $p=1\,$, to postane enako definiciji krožnosti, kot je zapisana zgoraj. Množica p-krožnih krivulj je invarianta pod evklidskimi preslikavami. Pomembno pa je, da ima p-krožna krivulja stopnjo najmanj $2p\,$.

Množica p-krožnih krivulj stopnje $p+k\,$, kjer se $p\,$ lahko spreminja, $k\,$ pa je stalno pozitivno celo število, je invarianta za inverzijo. Ko je $k\,$ enak 1, to pomeni, da je množica premic (0-krožnih krivulj stopnje 1) in množica krožnic (1-krožnih krivulj stopnje 2) invarianta za inverzijo.

Zgledi

• krožnica je edini primer krožne stožnice
• De Sluzejeve konhoide so krožne krivulje tretje stopnje
• Cassinijeva jajčnica (vključno z Bernoullijevo lemniskato), preseki torusa in Pascalovi polži (vključno s srčnico) so dvokrožne krivulje četrte stopnje
• Wattova krivulja je trikrožna krivulja šeste stopnje

Zunanje povezave

• Krožna algebrska krivulja (algebrska krivulja) na 2dcurves.com (angleško)
• Krožna algebrska krivulja v Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (francosko)
• Večkrožna krivulja v Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (francosko)