Cassinijeva jajčnica

Nekaj Cassinijevih jajčnic. (b=0,6a, 0,8a, a, 1,2a, 1,4a, 1,6a)

Cassinijeva jajčnica (tudi Cassinijev oval in Cassinijeve krivulje) je ravninska krivulja za katero velja, da je geometrijsko mesto točk v ravnini tako, da je zmnožek razdalj od dveh stalnih točk konstanten. Podobno je definirana elipsa, kjer pa je vsota razdalj od dveh stalnih točk konstantna. Te krivulje so posebni primeri polinomskih lemniskat, kjer imajo mnogočleniki stopnjo 2.

Cassinijev jajčnica ima ime po italijansko-francoskem matematiku, astronomu in inženirju Giovanniju Domenicu Cassiniju (1625 – 1712).

Definicija

Naj bosta $q_{1}\,$ in $q_{2}\,$ stalni fiksni točki in $b\,$ naj bo konstanta. Cassinijeva jajčnica z gorišči $q_{1}\,$ in $q_{2}\,$ je definiran kot geometrijsko mesto točk $p\,$ tako, da je zmnožek razdalj od $p\,$ do $q_{1}\,$ in razdalj od $p\,$ do $q_{2}\,$ enak $b^{2}\,$.

Cassinijeva jajčnica v kartezičnih koordinatah

V kartezičnem koordinatnem sistemu je enačba Cassinijeve jajčnice enaka:

$((x-a)^{2}+y^{2})((x+a)^{2}+y^{2})=b^{4}\!\,.$

To se lahko zapiše tudi kot:

$(x^{2}+y^{2})^{2}-2a^{2}(x^{2}-y^{2})+a^{4}=b^{4}\!\,.$

Cassinijeva jajčnica v polarnih koordinatah

V polarnem koordinatnem sistemu je enačba za Cassinijevo jajčnico:

$r^{4}-2a^{2}r^{2}\cos 2\theta =b^{4}-a^{4}\!\,.$

Oblika krivulje

Oblika krivulje je odvisna od $e=b/a\,$.

• kadar je $e>1\,$, se dobi krivuljo s samo eno zanko, ki povezuje obe gorišči.
• kadar je $e<1\,$, krivuljo sestavljata dva nepovezana dela, od katerih imata oba svoje gorišče.
• kadar je $e=1\,$, se dobi Bernoullijevo lemniskato z dvojno točko (krunodo) v izhodišču.

Glej tudi

• seznam krivulj

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric W. »Cassini Ovals«. MathWorld.
• Cassinijeva jajčnica na MacTutor Arhivirano 2011-08-17 na Wayback Machine. (angleško)
• Cassinijeva jajčnica na 2dcurves.com (angleško)
• Cassinijeva jajčnica na Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (francosko)