Hinčinova konstanta

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Hinčinova konstanta je v teoriji števil konstanta, ki kaže da je geometrična sredina delnih količnikov razvoja v verižni ulomek za skoraj vsa realna števila \xi\, enaka ne glede na vrednost \xi\, .

Za poljubno realno število:

 \xi = [a_0; a_1, a_2, a_3] \!\,

skoraj vedno velja:

 \lim_{n \rightarrow \infty } \left( \prod_{i=1}^n a_i \right) ^{1/n} = K_{0} \,\! ,

kjer je K_{0}\, Hinčinova konstanta:[1][2]

 K_{0} = \prod_{r=1}^\infty {\left( 1 + \frac{1}{r(r+2)} \right) }^{\operatorname{lb} r} = 2,685452001065 \ldots \!\, , (OEIS A002210),

kjer je \operatorname{lb} r\, dvojiški logaritem.

To značilnost verižnih ulomkov je leta 1933 dokazal Aleksander Jakovljevič Hinčin.[3][4][5]

Realna števila, za katere ta značilnost ne velja, so na primer racionalna števila, koreni kvadratnih enačb z racionalnimi koeficienti (vključno s številom zlatega reza Φ) in osnovo naravnih logaritmov e.

Števila, za katere ta značilnost velja, so po vsej verjetnosti π, Euler-Mascheronijeva konstanta γ in Hinčinova konstanta sama. To ni dokazano.

Hinčinovo konstanto je težko računati. Ni znano ali je racionalno, algebrsko iracionalno ali transcendentno število.

Neskončni verižni ulomek Hinčinove konstante je (OEIS A002211) :

 K_{0} = [2; 1, 2, 5, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 10, 2, 1, 3, 2, 24, 1, 3, 2, 3, 1, 1, 1, ... ] \,\! .

Razvoj v vrsto[uredi | uredi kodo]

Hinčinovo konstanto se lahko izrazi z racionalno vrsto ζ v obliki:

 \log K_{0} = \frac{1}{\log 2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac {\zeta (2n)-1}{n} \sum_{k=1}^{2n-1} \frac{(-1)^{k+1}}{k} \!\,

ali:

 \log K_{0} = \frac{1}{\log 2} \left[ \sum_{k=3}^{N} \log \left(\frac{k-1}{k} \right) \log \left(\frac{k+1}{k} \right) + \sum_{n=1}^{\infty} \frac {\zeta (2n, N)}{n} \sum_{k=1}^{2n-1} \frac{(-1)^{k+1}}{k} \right] \!\, ,

kjer je N\, fiksno celo število in \zeta (s, q)\, Hurwitzeva funkcija ζ. Obe vrsti sta močno konvergentni, saj se \zeta (n) - 1\, za velike n\, hitro približuje 0. Razvoj se lahko poda tudi s funkcijo dilogaritma:

 \log K_{0} = \log 2 + \frac{1}{\log 2} \left[ \operatorname{Li}_{2} \left( \frac{-1}{2} \right) + \frac{1}{2}\sum_{k=2}^{\infty} (-1)^{k} \operatorname{Li}_{2} \left( \frac{4}{k^{2}} \right) \right] \!\, .

Hölderjeva sredina[uredi | uredi kodo]

Hinčinova konstanta je prva v nizu Hölderjevih sredin izrazov verižnih ulomkov. Če je dana poljubna vrsta \{ a_{n} \} \, , je Hölderjeva sredina reda p\, dana kot:

 K_{p} = \lim_{n\to\infty} \left[ \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} a_{k}^{p} \right] ^{1/p} \!\, .

Ko so \{ a_{n} \} \, členi razvojaa v verižni ulomek, so konstante dane z:

 K_{p} = \left[\sum_{k=1}^{\infty} - k^{p} \operatorname{lb} \left( 1-\frac{1}{(k+1)^{2}} \right) \right] ^{1/p} \!\, .

To sledi, če se uporabi p-ta sredina v povezavi z Gauss-Kuzminovo porazdelitvijo. Vrednost Hinčinove konstante K_{0}\, izhaja iz limite p\to 0\, .

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Sklici[uredi | uredi kodo]

Viri[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]