Studentova t-porazdelitev

Student's t

Gostota verjetnosti
Zbirna funkcija verjetnosti
parametri	$\nu >0$ prostostne stopnje (realno število)
Interval	$x\in (-\infty ,\infty )$
gostota verjetnosti (pdf)	$\textstyle {\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\!$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	$${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}+x\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\times \\[0.5em]{\frac {\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu +1}{2}};{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\end{matrix}}$$ where 2F1 is the hipergeometrična funkcija
pričakovana vrednost	0 for $\nu >1$, drugje je nedefinirana
mediana	0
modus	0
varianca	$\textstyle {\frac {\nu }{\nu -2}}$ for $\nu >2$, ∞ for $1<\nu \leq 2$, drugje je nedefinirana
nesimetričnost	0 for $\nu >3$, drugje je nedefinirana
sploščenost	$\textstyle {\frac {6}{\nu -4}}$ for $\nu >4$, ∞ for $2<\nu \leq 4$, drugje je nedefinirana
entropija	${\begin{matrix}{\frac {\nu +1}{2}}\left[\psi \left({\frac {1+\nu }{2}}\right)-\psi \left({\frac {\nu }{2}}\right)\right]\\[0.5em]+\ln {\left[{\sqrt {\nu }}B\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}}\right)\right]}\,{\scriptstyle {\text{(nats)}}}\end{matrix}}$ ψ: funkcija digama, B: funkcija beta
funkcija generiranja momentov (mgf)	ni definirana
karakteristična funkcija	$\textstyle {\frac {K_{\nu /2}\left({\sqrt {\nu }}|t|\right)\cdot \left({\sqrt {\nu }}|t|\right)^{\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)2^{\nu /2-1}}}$ for $\nu >0$ $K_{\nu }(x)$: modificirana Besselova funkcija

Studentova t-porazdelitev (tudi t-porazdelitev ali Študentova t-porazdelitev) je zvezna verjetnostna porazdelitev.

Studentovo t-porazdelitev je odkril William Sealy Gosset (1876–1937) v letu 1908. Njeno odkritje je objavil pod psevdonimom Student (študent). Gosset je bil pivovar v pivovarni pri Guinnessu. Porazdelitev je odkril med raziskavo vpliva kvasovk na kakovost piva. Pozneje je ameriški statistik in ekonomski teoretik Harold Hotelling (1895 – 1973) razvil t porazdelitev. Ime porazdelitve pa je ostalo.

Definicija

Studentova t-porazdelitev je verjetnostna porazdelitev razmerja

${\frac {Z}{\sqrt {V/\nu \ }}}=Z{\sqrt {\nu /V}}$

kjer ima

• $Z\!$ normalno porazdelitev s pričakovano vrednostjo $0\!$ in varianco $1\!$
• $V\!$ ima porazdelitev hi-kvadrat z $\nu \!$ prostostnimi stopnjami
• $Z\!$ and $V\!$ sta statistično neodvisni slučajni spremenljivki.

Lastnosti t porazdelitve

Funkcija gostote verjetnosti

Funkcija gostote verjetnosti za t porazdelitev je

${\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-({\frac {\nu +1}{2}})}\!$.

kjer je

• $\Gamma (z)\!$ funkcija gama.
• $\nu$ so prostostne stopnje porazdelitve

Kadar je $\nu$ parno (sodo) število je funkcija gostote verjetnosti enaka

${\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}={\frac {(\nu -1)(\nu -3)\cdots (5)(3)}{2{\sqrt {\nu }}(\nu -2)(\nu -4)\cdots (4)(2)\,}}.$

Kadar pa je $\nu$ neparno število (liho) pa je funkcija gostote verjetnosti enaka

${\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}={\frac {(\nu -1)(\nu -3)\cdots (4)(2)}{\pi {\sqrt {\nu }}(\nu -2)(\nu -4)\cdots (5)(3)\,}}.\!$

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}+x\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\cdot \\[0.5em]{\frac {\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu +1}{2}};{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\end{matrix}}$

kjer je

• $_{2}F_{1}\!$ hipergeometrična funkcija
• $\Gamma (z)\!$ funkcija gama.

Zbirno funkcijo verjetnosti pa lahko izrazimo tudi s pomočjo nepopolne funkcije beta:

$\int _{-\infty }^{t}f(u)\,du=I_{x}\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {\nu }{2}}\right)={\frac {B\left(x;{\frac {\nu }{2}},{\frac {\nu }{2}}\right)}{B\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {\nu }{2}}\right)}}$

kjer je

• $x={\frac {t+{\sqrt {t^{2}+\nu }}}{2{\sqrt {t^{2}+\nu }}}}.$.
• $B(x,a,b)\!$ nepopolna funkcija beta

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je enaka

$0{\text{ za }}\nu >1\!$

drugje je nedefinirana.

Varianca

Varianca je enaka

${\frac {\nu }{\nu -2}}{\text{ za vrednosti }}\nu >2\!$,
$\infty \!$ za $1<\nu \leq 2$,
drugje je nedefinirana.

Sploščenost

Sploščenost je enaka

${\frac {6}{\nu -4}}{\text{ za }}\nu >4\!$.

Funkcija generiranja momentov

Funkcija generiranja momentov ni določena.

Povezave z drugimi porazdelitvami

• Slučajna spremenljivka $Y\!$ ima F porazdelitev $Y\sim \mathrm {F} (\nu _{1}=1,\nu _{2}=\nu )\!$ kadar je $Y=X^{2}\!$ in ima slučajna spremenljivka $X\!$ Studentovo t-porazdelitev $X\sim \mathrm {t} (\nu )\!$.

• Slučajna spremenljivka $Y\!$ ima normalno porazdelitev $Y\sim \mathrm {N} (0,1)\!$, ko velja $Y=\lim _{\nu \to \infty }X$ in ima slučajna spremenljivka $X\!$ t porazdelitev $X\sim \mathrm {t} (\nu )\!$.

• Slučajna spremenljivka $X\!$ ima Cauchyjevo porazdelitev $X\sim \mathrm {Cauchy} (0,1)\!$, kadar ima $X\!$ t porazdelitev $X\sim \mathrm {t} (\nu =1)\!$.

Zunanje povezave

• Studentova t-porazdelitev na MathWorld (angleško)
• Opis Studentove t-porazdelitve Arhivirano 2016-03-04 na Wayback Machine. (angleško)

Glej tudi

• seznam verjetnostnih porazdelitev