Projekcija (linearna algebra)

Projekcija je v linearni algebri linearna transformacija $P\!\,$ iz vektorskega prostora v samega sebe tako, da je $P^{2}=P\!\,$. Projekcija ohranja sliko nespremenjeno.

preslikava $P\!\,$ je pravokotna projekcija na premico $m\!\,$.

Pravokotna projekcija

Pravokotna ali ortogonalna projekcija točk $(x,y,z)\!\,$ iz evklidskega prostora $\mathbb {R} ^{3}\!\,$ na ravnino $x-y\!\,$ se lahko prikaže z matriko:

$P={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\!\,.$

Delovanje te projekcije na poljubno točko se lahko zapiše kot:

$P{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}\!\,$.

Preslikava $T\!\,$ je projekcija vzdolž $k\!\,$ na premico $m\!\,$.

Poševna projekcija

Enostaven primer nepravokotne oziroma poševne projekcije točk na premico se lahko opiše z matriko:

$T={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}\!\,.$

Lahko se pokaže, da je:

$T^{2}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}=T\!\,.$

To pa pomeni, da je $T\!\,$ res projekcija.

Projekcija $T\!\,$ je pravokotna samo, če in samo če je $\alpha =0\!\,$.