Eulerjeva karakteristika

Eulerjeva karakteristika (tudi Euler-Poincaréjeva karakteristika) (oznaka $\chi \,$ ) je v matematiki oziroma v algebrski topologiji in poliedrski kombinatoriki topološka invarianta.

Imenuje se po švicarskem matematiku, fiziku in astronomu Leonhardu Eulerju (1707–1783) in francoskem matematiku in filozofu Henriju Poincaréju (1854–1912).

Najprej so definirali Eulerjevo karakteristiko za poliedre. V sodobni matematiki izhaja Eulerjeva karakteristika iz homologije in povezuje mnogo drugih invariant.

Poliedri[uredi | uredi kodo]

Eulerjevo karakteristiko so najprej definirali za poliedre

\chi =V+F-E\,\!

kjer je

$V\,$ število oglišč poliedra
$E\,$ število robov poliedra
$F\,$ število stranskih ploskev poliedra

Konveksni poliedri imajo Eulerjevo karakteristiko enako

\chi =V+F-E=2.\,\!

Ta obrazec je znan tudi kot Eulerjev izrek o poliedrih ali Eulerjeva poliedrska formula.

V nadaljevanju je podana Eulerjeva karakteristika za nekatere konveksne poliedre:

ime	oglišča V	robovi E	stranske ploskve F	Eulerjeva karakteristika: χ
tetraeder	4	6	4	2
heksaeder ali kocka	8	12	6	2
oktaeder	6	12	8	2
dodekaeder	20	30	12	2
ikozaeder	12	30	20	2

Nekonveksni poliedri imajo različne vrednosti Eulerjeve karakteristike:

ime	oglišča V	robovi E	stranske ploskve F	Eulerjeva karakteristika: χ
tetrahemiheksaeder	6	12	7	1
oktahemioktaeder	12	24	12	0
kubohemioktaeder	12	24	10	−2
veliki ikozaeder	12	30	20	2

Zgledi[uredi | uredi kodo]

Eulerjeva karakteristika se lahko izračuna za

ime	slika	Eulerjeva karakteristika
interval		1
krožnica		0
enotska krožnica		1
sfera		2
torus		0
dvojni torus		−2
trojni torus		−4
realna projektivna ravnina		1
Möbiusov trak		0
Kleinova steklenica		0
dve sferi (nepovezani) (disjunktna unija dveh sfer)		2 + 2 = 4
tri sfere (nepovezane) (disjunktna unija treh sfer)		2 + 2 + 2 = 6