Dualni polieder

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Dual kocke je oktaeder. Tukaj je prikazan tako, da so oglišča v središču kockinih stranskih ploskev.
Prisekanost zaporedje od kocke do njenega duala oktaedra. Poliederski dual imenujemo rektifikacija stranske ploskve ali dvojna rektifikacija.

Dualni polieder je v geometriji eden izmed para poliedrov, katerega oglišča enega odgovarjajo stranskim ploskvam drugega. Dualni polieder dualnega poliedra je prvotni polieder.

Običajno namesto izraza dualni uporabljamo rajši izraz dual, kar pa ima isti pomen.

Dual poliedra z enakimi oglišči je enak poliedru z enakimi stranskimi ploskvami. Prav tako velja, da je v primeru enakih robov enak drugemu z enakimi robovi. Tako so pravilni poliedri kot so platonska telesa in Kepler-Poinsotovi poliedri v dualnih parih. Izjema je tetraeder, ki je sebi dualen

Vrste dualnosti[uredi | uredi kodo]

Znanih je več vrst dualnosti. Pri poliedrih so najbolj primerne naslednje dualnosti:

  • obratna polarna dualnost
  • topološka dualnost
  • abstraktna dualnost

Obratna polarna dualnost[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: Pol in polara.

Dualnost je najpogosteje definirana s pomočjo polarne vzajemnosti na koncenktrični sferi. Tukaj je vsako oglišče (pol) povezano z ravnino stranske ploskve tako, da vsak poltrak iz središča oglišča pravokotno na ravnino ter zmnožek razdalje od središča do vsakega posebej, je enaka kvadratu polmera. V koordinatah je vzajemnost za sfero

x^2 + y^2 + z^2 = r^2,

oglišče

(x_0, y_0, z_0)

je povezano z ravnino

x_0x + y_0y + z_0z = r^2.

Oglišča dualnega poliedra so poli, ki so vzajemni s ravninami stranskih ploskev prvotnega poliedra.

Topološka dualnost[uredi | uredi kodo]

Dualni polieder lahko tako popačimo, da ga ne moremo več dobiti z vzajemnostjo iz prvotnega v katerikoli sferi. V tem primeru pravimo, da sta dve poliedra še vedno topološko dualna.

Potrebno je še omeniti, da oglišča in robove konveksnega poliedra lahko projiciramo tako, da tvorimo graf (včasih ga imenujemo Schlegelov diagram) na sferi ali ravnini. Pripadajoči graf, ki ga dobimo s pomočjo duala tega poliedra, je dualni graf.

Abstraktna dualnost[uredi | uredi kodo]

Abstraktni polieder je posebna oblika delno urejene množice (poset) elementov je tista, ki so za soseščino ali povezave med njimi enake soseščini med elementi poliedra (stranske ploskve, robovi itd.). To lahko prikažemo s Hessovim diagramom. Vsaki delno urejeni množici pripada njena dualna delno urejena množica. Hessov diagram dualnega poliedra preprosto dobimo tako, da obrnemo prvotni diagram od zgoraj navzdol.

Dorman Lukova konstrukcija[uredi | uredi kodo]

Za uniformni polieder se lahko dobi stranska ploskev iz slike oglišč prvotnega poliedra s pomočjo Dorman Lukove konstrukcije.

Konstrukcijo sta najprej opisala Cundy in Rollet (1961). Pozneje jo je posplošil še Wenninger (1983). V naslednjem primeru je uporabljena slika oglišča (rdeče) kubooktaedra, da bi se dobila stranska ploskev (modro) rombskega dodekaedra.

DormanLuke.svg

Sliko oglišča ABCD dobimo tako, da odrežemo robove na njihovih srednjih točkah.

Naslednji koraki Dorman Lukove kostrukcije so:

  1. Narišemo včrtano krožnico, ki je tangentna na vsak vogal
  2. Narišemo tangente na včrtano krožnico na vsakem vogalu A, B, C in D
  3. Označimo točke E, F, G in H, kjer vsaka črta sreča sosednjo črto
  4. Mnogokotnik EFGH je stranska ploskev dualnega poliedra.

Velikost slike oglišč je izbrana tako, da njena včrtana krožnica leži na vmesni krogli kubooktaedra, ki tako postane vmesna krogla dualnega rombskega dodekaedra.

Dorman Lukova konstrukcija se lahko uporabi, če ima polieder takšno vmesno kroglo in je slika oglišč ciklična. Takšni pa so uniformni poliedri.

Sebi dualni poliedri[uredi | uredi kodo]

Sebi dualni poliedri so tisti dualni poliedri, ki imajo skladno obliko. Pri tem ni potrebno, da je ta oblika identična. Zgled: Dual pravilnega tetraedra je pravilni tetraeder, ki je zrcaljen preko izhodišča.

Sebi dualni poliedri morajo imeti isto število oglišč kot imajo stranskih ploskev. Takšni poliedri so ali pa tudi niso, geometrijsko sebi dualni, kar je odvisno od načina gledanja na geometrijsko dualnost. Zgled: vsak mnogokotnik je topološko sebi dualen toda v splošnem ni geometrijsko sebi dualen. Pravilni mnogokotniki so geometrijsko sebi dualni (vsi koti so skladni, prav tako robovi), toda nepravilni mnogokotniki niso geometrijsko sebi dualni.

Obstoja neskončno veliko sebi dualnih poliedrov. Najenostavnejši primer so piramide, ki imajo n stranic in predpisano obliko. Druga neskončna skupina so poliedri, ki jih lahko na grobo opišemo kot piramide, ki sedijo na vrhu prizem in imajo enako število stranic. Če dodamo še frustum (piramide z odrezanim vrhom) dobimo naslednjo neskončno družino.

Obstoja veliko drugih konveksnih sebi dualnih poliedrov.

Lahko najdemo tudi nekonveksne sebi dualne poliedre. Takšen je izkopani dodekaeder.

Družina piramid
Tetrahedron.jpg
tetraeder
Square pyramid.png
kvadratna piramida
Pentagonal pyramid.png
petkotna piramida
Hexagonal pyramid.png
šestkotna piramida
Družina podaljšanih piramid
Elongated triangular pyramid.png
podaljšana trikotna piramida
Elongated square pyramid.png
podaljšana kvadratna piramida
Elongated pentagonal pyramid.png
podaljšana petkotna piramida

Dualni politopi in teselacije[uredi | uredi kodo]

Dualnost lahko posplošimo na n-razsežni prostor in na dualne politope . V dveh razsežnostih jih imenujemo dualni mnogokotniki. Oglišča politopa odgovarjajo (n-1)- razsežnim elementom ali facetam drugih j točk, ki določajo (j-1)-razsežne elemente, ki odgovarjajo j hiperravninam sekajočim se tako, da dajo (n-j)-razsežne elemente. Dualno satovje se lahko definira podobno.

V splošnem so facete duala politopa topološki duali slike oglišč politopa. Za pravilne in uniformne politope so dualne facete polarne obratne vrednosti prvotnih facet. Zgled: v štiri razsežnem prostoru je slika oglišč 600 celice ikozaeder. Dual 600 celice pa je 120 celica, katere facete so dodekaedri, ki pa so duali ikozaedra.

Sebi dualni politopi in teselacije[uredi | uredi kodo]

Osnovni razred sebi dualnih politopov so pravilni politopi, ki imajo palindromne Schläflijeve simbole. Vsi pravilni mnogokotniki {a}, poliedri z obliko {a, a}, 4-4-politopi z obliko {a,b,a} , 5 politopi z obliko {a,b,b,a} itd. so sebi dualni.

Sebi dualni pravilni politopi so torej:

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]