Polpolieder

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Jump to navigation Jump to search

Polpolieder (tudi hemipolieder) je uniformni zvezdni polieder. Njegove stranske ploskve potekajo skozi njegovo središče. Te pol (»hemi«) stranske ploskve ležijo vzporedno z nekim drugim simetričnim poliedrom. Njihovo število je samo polovica stranskih ploskev tega drugega poliedra. Iz tega izhaja tudi predpona »hemi«.[1]

Predpona »hemi« se uporablja tudi za določene projektivne poliedre kot je npr. polkocka, ki je slika preslikave 2 v 1 sfernega poliedra s centralno simetrijo.

Wythoffov simbol in slika oglišč[uredi | uredi kodo]

Wythoffovi simboli imajo obliko p/(p − q) p/q | r; njihove slike oglišč so križni štirikotnik|križni štirikotniki. Slika oglišč je enaka p/q.2r.p/(p − q).2r. 2r-kotniške stranske ploskve tečejo skozi središče modela. Notacija p/(p − q) vključuje {p/q} stranskih ploskev, ki se obračajo nazaj okoli slike oglišč.

Devet oblik skupaj s Wythoffovimi simboli je:

Tetrahemihexahedron.png
tetrahemiheksaeder
3/2 3 ǀ 2
(3.4.3/2.4)
(p/q = 3, r = 2)
Octahemioctahedron.png
oktahemioktaeder
3/2 3 ǀ 3
(3.6.3/2.6)
(p/q = 3, r = 3)
Small icosihemidodecahedron.png
mali ikozihemidodekaeder
3/2 3 ǀ 5
(3.10.3/2.10)
(p/q = 3, r = 5)
Great icosihemidodecahedron.png
veliki ikozihemidodekaeder
3/2 3 ǀ 5/3
(3.10/3.3/2.10/3)
(p/q = 3, r = 5/3)
Small dodecahemicosahedron.png
mali dodekahemiikozaeder
5/3 5/2 ǀ 3
(5/2.6.5/3.6)
(p/q = 5/2, r = 3)
  Cubohemioctahedron.png
kubohemioktaeder
4/3 4 ǀ 3
(4.6.4/3.6)
(p/q = 4, r = 3)
Small dodecahemidodecahedron.png
mali dodekahemidodekaeder
5/4 5 ǀ 5
(5.10.5/4.10)
(p/q = 5, r = 5)
Great dodecahemidodecahedron.png
veliki dodecahemidodecahedron
5/3 5/2 ǀ 5/3
(5/2.10/3.5/3.10/3)
(p/q = 5/2, r = 5/3)
Great dodecahemicosahedron.png
veliki dodekahemiikozaeder
5/4 5 ǀ 3
(5.6.5/4.6)
(p/q = 5, r = 3)

Orientabilnost[uredi | uredi kodo]

Samo oktahemioktaeder predstavlja orientabilno ploskev. Vsi ostali polpoliedri so neorientabilni ali ploskve s samo eno stranjo.

Dualna telesa polpoliedrov[uredi | uredi kodo]

Ker imajo polpoliedri stranske ploskve, ki potekajo skozi središče, imajo pripadajoče dualne oblike oglišča v neskončnosti ali na realni projektivni ravnini v neskončnosti [2]. V knjigi Magnus Wenninger (rojen 1919) dualni modeli so prikazani kot sekajoče se prizme, ki so podaljšane v obeh smereh za isto sliko oglišč do neskončnosti, da bi se obdržala simetrija. V resnici se modeli prizem odrežejo v določeni točki, kar je ugodno za izdelovalce. Wenninger predlaga, da so te oblike nov razred stelacije, ki jo imenujemo stelacija v neskončnosti. Predlagal je tudi, da ta vrsta konstrukcije ne potrjuje običajnih definicij.

Obstoja devet takšnih dualov:

Tetrahemihexacron.png Hexahemioctacron.png Small dodecahemidodecacron.png Great dodecahemidodecacron.png Small dodecahemicosacron.png
tetrahemiheksakron
oktahemioktakron
in heksahemioktakron
mali ikozihemidodekakron
in mali dodekahemidodekakron
veliki dodekahemidodekakron
in veliki ikozihemidodekakron
veliki dodekahemiikozakron
in mali dodekahemiikozakron
3 sekajoče se neskončne štiristrane prizme 4 sekajoče se neskončne šeststrane prizme 6 sekajoče se neskončne desetstrane prizme 6 sekajočih se neskončnih desetstranih prizem 10 sekajočih se neskončnih šeststranih prizem

Odnosi s kvazipravilnimi poliedri[uredi | uredi kodo]

Polpoliedri se pojavljajo v parih kot facetiranje kvazipravilnih poliedrov s štirimi stranskimi ploskvami na oglišču. Ti kvazipravilni poliedri imajo sliko oglišč m.n.m.n. Njihovi robovi tvorijo tudi n-kotne in m-kotne stranske ploskve, ki tvorijo polstranske ploskve polpoliedra. Tako se lahko polpolieder dobi iz kvazipravilnih poliedrov tako, da se zavrže m- in n-kotnike in se potem vpelje polstranske ploskve. Ker se je zavrglo m- in n-kotnike, se lahko vsakega od dveh polpoliedrov dobi iz kvazipravilnega poliedra. Tega pa se ne da narediti za oktaeder in tetraeder, kjer velja m = n = 3 in sta facetiranji skladni. Ta vrsta konstrukcije ne deluje za kvazipranevilne poliedre s šestimi stranskimi ploskvami na oglišču ker njihovi robovi ne tvorijo nobene pravilne polstranske ploskve. [1]

Ker imajo polpoliedri tako kot kvazipravilni poliedri, ki imajo dve vrsti stranskih ploskev, ki se izmenoma pojavljajo okrog vsakega oglišča, se jih obravnava tudi kot kvazipravilne.[1]

Kvazipravilni poliedri
m.n.m.n
polstranske ploskve
(h-kotniki)
polpoliedri z m-kotniki uprabljeni z
m.h.m/m - 1.h
polpolieder z n-kotniki uporabljen z
n.h.n/n - 1.h
Uniform polyhedron-33-t1.png
tetratetraeder
3.3.3.3
m = 3, n = 3
Octahedron equator.png
kvadrati
{4}
 
Tetrahemihexahedron.png
tetrahemiheksaeder
3.4.3/2.4
 
Tetrahemihexahedron.png
tetrahemiheksaeder
3.4.3/2.4
 
Cuboctahedron.png
kubooktaeder
3.4.3.4
m = 3, n = 4
Cuboctahedron equator.png
šestkotniki
{6}
 
Cubohemioctahedron.png
kubohemioktaeder
4.6.4/3.6
 
Octahemioctahedron.png
oktahemioktaeder
3.6.3/2.6
 
Icosidodecahedron.png
ikozidodekaeder
3.5.3.5
m = 3, n = 5
Icosidodecahedron equator.png
desetkotniki
{10}
 
Small dodecahemidodecahedron.png
mali dodekahemidodekaeder
5.10.5/4.10
 
Small icosihemidodecahedron.png
mali ikozihemidodekaeder
3.10.3/2.10
 
Dodecadodecahedron.png
dodekadodekaeder
5.5/2.5.5/2
m = 5, n = 5/2
Dodecadodecahedron equator.png
šestkotniki
{6}
 
Small dodecahemicosahedron.png
mali dodekahemikozaeder
5/2.6.5/3.6
 
Great dodecahemicosahedron.png
veliki dodekahemiikozaeder
5.6.5/4.6
 
Great icosidodecahedron.png
veliki ikozidodekaeder
3.5/2.3.5/2
m = 3, n = 5/2
Great icosidodecahedron equator.png
dekagrami
{10/3}
 
Great dodecahemidodecahedron.png
veliki dodekahemidodekaeder
5/2.10/3.5/3.10/3
 
Great icosihemidodecahedron.png
veliki ikozihemidodekaeder
3.10/3.3/2.10/3
 

Tukaj m in n odgovarjata zgornjemu p/q in h pomeni 2r (glej zgoraj).

Sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ 1,0 1,1 1,2 Hart, George (1996). "Quasiregular Polyhedra". Virtual Polyhedra: The Encyclopedia of Polyhedra. Pridobljeno dne 6. maj 2012. 
  2. ^ (Wenninger 2003, str. 101)