Uniformni politop

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Uniformni politop je politop, ki ga sestavljajo facete z nižjo razsežnostjo. Uniformni politopi z razsežnostjo 2 so pravilni mnogokotniki. To je posplošitev starejše kategorije polpravilnih politopov, vsebuje pa tudi pravilne politope

Operacije[uredi | uredi kodo]

Skoraj vsak uniformni politop se lahko naredi s pomočjo Wythoffove konstrukcije in se prikaže s Coxeter-Dynkinovim diagramom. Pomembnejše izjeme vključujejo veliko antiprizmo v štirih razsežnostih. Izraz je za konveksne uniformne politope skoval ameriški matematik Norman Johnson (rojen 1930).

Operatorji rektifikacije[uredi | uredi kodo]

Pravilni n-politop ima n-ti red rektifikacije. Ničelna rektifikacija nam da začetno obliko.  (n-1) -ta rektifikacija je dualna. Prva rektifikacija spremeni robove v oglišča, druga rektifikacija spremeni stranske ploskve v oglišča. Tretja rektifikacija spremeni celice v oglišča.

Razširjeni Schläflijev simbol se lahko uporabi za predstavitev rektificiranih oblik z

  • k-ta rektifikacija = tk{p1, p2, ..., pn-1}

Operatorji prisekanosti[uredi | uredi kodo]

  • t0,1 : prisekanost se lahko uporabi za mnogokotnike in telesa z višjo razsežnostjo. Prisekanost odstrani oglišča in vnese nove facete tja, kjer je prej bilo oglišče. Stranske ploskve so prirezane in robovi podvojeni. Izraz je skoval Johannes Kepler (1671 – 1630). Beseda izhaja iz latinske besede truncare, kar pomeni odrezati.

Cube truncation sequencexx.svg

  • t0,2 kantelacija se lahko uporabi za poliedre in telesa višjih razsežnosti. Kantelacija odreže oglišča in robove ter jih nadomesti z novimi facetami. Celice se nadomestijo s topološko razširjenimi kopijami. Izraz je skoval matematik Norman Johnson (rojen 1930). Izraz izhaja iz besede cant, ki pomeni nagnjeno ali poševno odrezano.

Cube cantellation sequence sl.svg

  • t0,2 : runcinacija se lahko uporabi za polihorone in telesa z višjimi razsežnostmi. Izraz je skoval Johnson. Izraz izhaja iz besede runcina, ki pomeni tesarski oblič.
  • t0,4 : sterikacija se uporablja za 5-politope in višje razsežnosti. Sterikacija odreže oglišča, robove, stranske ploskve in celice in vse nadomesti z novimi facetami. 5-stranske ploskve zamenja z njihovimi razširjenimi kopijami. Tudi ta izraz je skoval matematik Norman Johnson. Izraz izhaja iz grške besede stereos, ki pomeni trdno telo.
  • t0,5 : pentelacija se uporablja za 6-politope in višje razsežnosti. Pentelacija odreže oglišča, robove, stranske ploskve, celice in 4-stranske ploskve ter jih nadomesti z novimi facetami. 6-stranske ploskve nadomesti s topološko razširjenimi kopijami. Izraz izhaja iz grške besede penta, kar pomeni pet.
  • t0,6 : heksikacija se uporablja za 7-politope in višje razsežnosti. Heksikacija odreže oglišča, robove, stranske ploskve, celice, 4-stranske ploskve, 5-stranske ploskve in 6-stranske ploskve in jih nadomesti z novimi facetami. Izraz izhaja iz grške besede hex, kar pomeni šest.
  • t0,7 : heptelacija se uporablja za 8-politope in višje razsežnosti. Heptelacija odreže oglišča, robove, stranske ploskve celice, 4-stranske ploskve, 5-stranske ploskve, 6-stranske ploskve in jih zamenja z novimi facetami. 7-stranske ploskve se nadomestijo s topološko razširjenimi kopijami. Izraz izhaja iz grške besede hepta, kar pomeni sedem.

Povečevanje[uredi | uredi kodo]

Znan je še poseben postopek, ki se imenuje alternacija . Ta postopek izmenoma odstrani vsako drugo oglišče v politopu, ki ima samo parne stranske ploskve. Alternirani omniprisekani politop se imenuje prirezani politop.

Vedno lahko konstruiramo takšen politop

Snubcubes in grCO sl.svg
Alternacija velikega kubooktaedra naredi prirezano kocko (snub kocka).

Slika oglišč[uredi | uredi kodo]

Uniformni politopi selahko konstruirajo iz njihovih slik oglišč, ki predstavljajo razporeditev robov, stranskih ploskev, celic itd. okoli vsakega oglišča. Uniformni politopi predstavljeni s Coxeter-Dynkinovimi diagrami označujejo aktivna zrcala z obroči imajo zrcalno simetrijo in jih lahko konstruiramo z rekurzivnim zrcaljenjem slike oglišč.

Manjše število nezrcalnih uniformnih politopov ima samo eno sliko oglišč toda se ne ponavljajo s samo enim enostavnim zrcaljenjem slike oglišč.

Uniformni politopi po razsežnostih[uredi | uredi kodo]

Ena razsežnost[uredi | uredi kodo]

Edini enorazsežni politop je del ravne črte. Pripada Coxeterjevi družini A1

Dve razsežnosti[uredi | uredi kodo]

V dveh razsežnostih je neskončno velika skupina konveksnih uniformnih politopov to so pravilni mnogokotniki od katerih je najenostavnejši enakostranični trikotnik. Nekaj prvih pravilnih mnogokotnikov je prikazanih v naslednji preglednici:

ima trikotnik
(2-simpleks)
kvadrat
(2-ortopleks)
(2-kocka)
petkotnik šestkotnik sedemkotnik osemkotnik
Schläflijev {3} {4} {5} {6} {7} {8}
Dynkin CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.png
slika Regular triangle.svg Kvadrato.svg Regular pentagon.svg Regular hexagon.svg Regular heptagon.svg Regular octagon.svg

Znana je tudi neskončna množica zvezdnih mnogokotnikov (eden za vsako racionalno število večje od 2), toda ti niso konveksni. Najenostavnejši primer je pentagram, ki odgovarja racionalnemu številu 5/2.

ime pentagrami heptagrami oktagram eneagrami dekagram ...n-agrami
Schläfli {5/2} {7/2} {7/3} {8/3} {9/2} {9/4} {10/3} {p/q}
Dynkin CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel rat.pngCDel d3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel rat.pngCDel d3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 9.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 9.pngCDel rat.pngCDel d4.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 10.pngCDel rat.pngCDel d3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel rat.pngCDel dq.pngCDel node.png
slika Star polygon 5-2.svg Star polygon 7-2.svg Star polygon 7-3.svg Star polygon 8-3.svg Star polygon 9-2.svg Star polygon 9-4.svg Star polygon 10-3.svg  

Tri razsežnosti[uredi | uredi kodo]

V treh razsežnostih postane vse še bolj zanimivo. Obstoja pet pravilnih poliedrov, ki so znani kot platonska telesa:

Name Schläfli
{p,q}
Dynkin
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png
Slika
(prosojna)
Slika
(telo)
Slika
(krogla)
stranske ploskve
{p}
robovi oglišča
{q}
simetrija dualni
tetraeder
(3-simpleks)
(piramida)
{3,3} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png Tetrahedron.svg Tetrahedron.png Uniform tiling 332-t0-1-.png 4
{3}
6 4
{3}
Td (self)
kocka
(3-kocka)
(Heksaeder)
{4,3} CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png Hexahedron.svg Hexahedron.png Uniform tiling 432-t0.png 6
{4}
12 8
{3}
Oh Octahedron
oktaeder
(3-ortopleks)
{3,4} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png Octahedron.svg Octahedron.png Uniform tiling 432-t2.png 8
{3}
12 6
{4}
Oh Cube
dodekaeder {5,3} CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png POV-Ray-Dodecahedron.svg Dodecahedron.png Uniform tiling 532-t0.png 12
{5}
30 20
{3}2
Ih ikozaeder
ikozaeder {3,5} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png Icosahedron.svg Icosahedron.png Uniform tiling 532-t2.png 20
{3}
30 12
{5}
Ih dodekaeder

Dodatno k tem telesom je znanih še 13 polpravilnih poliedrov, ki pa jih poznamo kot Arhimedova telesa. Dobimo jih s pomočjo Wythoffove konstrukcije ali z uporabo postopkov kot je prisekavanje platonskih teles, kar je prikazano v naslednji preglednici:

osnovno telo prisekano rektificirano dvojno prisekano dvojno rektificirano
(dualno)
Kantelirano omniprisekano
(kantiprisekano)
Prirezana oblika
tetraederska
3-3-2
Uniform polyhedron-33-t0.png
{3,3}
Uniform polyhedron-33-t01.png
(3.6.6)
Uniform polyhedron-33-t1.png
(3.3.3.3)
Uniform polyhedron-33-t12.png
(3.6.6)
Uniform polyhedron-33-t2.png
{3,3}
Uniform polyhedron-33-t02.png
(3.4.3.4)
Uniform polyhedron-33-t012.png
(4.6.6)
Uniform polyhedron-33-s012.png
(3.3.3.3.3)
Octahedral
4-3-2
Uniform polyhedron-43-t0.png
{4,3}
Uniform polyhedron-43-t01.png
(3.8.8)
Uniform polyhedron-43-t1.png
(3.4.3.4)
Uniform polyhedron-43-t12.png
(4.6.6)
Uniform polyhedron-43-t2.png
{3,4}
Uniform polyhedron-43-t02.png
(3.4.4.4)
Uniform polyhedron-43-t012.png
(4.6.8)
Uniform polyhedron-43-s012.png
(3.3.3.3.4)
Icosahedral
5-3-2
Uniform polyhedron-53-t0.png
{5,3}
Uniform polyhedron-53-t01.png
(3.10.10)
Uniform polyhedron-53-t1.png
(3.5.3.5)
Uniform polyhedron-53-t12.png
(5.6.6)
Uniform polyhedron-53-t2.png
{3,5}
Uniform polyhedron-53-t02.png
(3.4.5.4)
Uniform polyhedron-53-t012.png
(4.6.10)
Uniform polyhedron-53-s012.png
(3.3.3.3.5)

Obstoja tudi neskončna množica prizem, po ena za vsak pravilni mnogokotnik ter pripadajoča množica antiprizem.

# Name Picture Tiling Vertex
figure
Coxeter-Dynkin
and Schläfli
symbols
P2p prizma Dodecagonal prism.png Spherical truncated hexagonal prism.png Dodecagonal prism vf.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t{2,p}
Ap antiprizma Hexagonal antiprism.png Spherical hexagonal antiprism.png Hexagonal antiprism vertfig.png CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel 2.pngCDel node h.png
t{2,p}

Nekonveksni uniformni poliedri vključujejo še 4 pravilne poliedre, ki jih poznamo kot Kepler-Poinsotovi poliedri ter 53 polpravilnih nekonveksnih poliedrov. Obstojata tudi dve neskončni množici zvezdnih prizem (po ena za vsak zvezdni mnogokotnik) ter zvezdne antiprizme (po ena za vsako racionalno število večje od 3/2).

Konstrukcije[uredi | uredi kodo]

Wythoffove uniformne poliedre in tlakovanja lahko definiramo z uporabo Wythoffovega simbola, ki določa osnovno področje objekta. Razširitev Schläflijeve notacije se lahko uporabi za vse razsežnosti.

postopek razširjeni
Schläflijevi
simboli
Coxeter-
Dynkinov
diagram
Wythoff
symbol
Položaj
(2) (1) (0) (0,1) (0,2) (1,2)
starševska \begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix} t0{p,q} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png q | 2 p {p} {} -- -- -- {}
rektificirano \begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix} t1{p,q} CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png 2 | p q {p} -- {q} -- {} --
dvojno rektificirano
(or dualni)
\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix} t2{p,q} CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png p | 2 q -- {} {q} {} -- --
prisekan t\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix} t0,1{p,q} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png 2 q | p {2p} {} {q} -- {} {}
dvojno prisekan
(ali prisekan dual)
t\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix} t1,2{p,q} CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png 2 p | q {p} {} {2q} {} {} --
kantelirano
(ali razširjeno)
r\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix} t0,2{p,q} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png p q | 2 {p} {}x{} {q} {} -- {}
kantiprisekano
(ali omniprisekano)
t\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix} t0,1,2{p,q} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png 2 p q | {2p} {}x{} {2q} {} {} {}
prisekan s\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix} s{p,q} CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel q.pngCDel node h.png | 2 p q {p} {3}
{3}
{q} -- -- --
Polyhedron truncation exaple3 sl.png Wythoffian construction diagram sl.png
generiranje trikotnikov


Štiri razsežnosti[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: Uniformni polihoron.

V štirih razsežnostih obstoja 6 konveksnih pravilnih polihoronov, 17 prizem zgrajenih na platonskih in arhimedskih telesih in dve neskončni množici prizem in konveksnih antiprizem ter duoprizem. Razen tega imamo še 41 konveksnih polpravilnih polihoronov vključno z neWythoffovimi velikimi antiprizmami in in prirezanimi 24-celicami. Obe skupini od teh posebnih polihoronov sta sestavljeni iz podgrup oglišč 600-celic.

Štirirazsežni nekonveksni uniformni politopi so prešteti. Vključujejo 10 pravilnih nekonveksnih polihoronov ( Schläfli-Hessovi polihoroni) in 57 prizem osnovanih na nekonveksnih uniformnih poliedrih ter tri neskončne skupine zvezdnih prizem osnovanih na zvezdnih antiprizmah, duoprizme nastale kot množenje dveh zvezdnih mnogokotnikov in duoprizme, ki nastanejo z množenjem običajnih mnogokotnikov z zvezdnimi mnogokotniki. Obstoja tudi neznano število polihoronov, ki ne spadajo v zgornje skupine. Preko tisoč so jih doslej našli.

Tetraeder v celici kubičnega satovja.
Nas liki so trije pravi diederski koti, od katerih dva sekata pravokotni zrcali:
robovi 1 do 2, 0 do 2 in 1 do 3.
Pregled operacij prisekovanja.
A4 BC4 D4 F4 GH4
[3,3,3]
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[4,3,3]
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[31,1,1]
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
[3,4,3]
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[5,3,3]
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
5-celica
Schlegel wireframe 5-cell.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{3,3,3}
16-celica
Schlegel wireframe 16-cell.png
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
{3,3,4}
teserakt
Schlegel wireframe 8-cell.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{4,3,3}
polteserakt
Schlegel wireframe 16-cell.png
CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png

{31,1,1}

24-celica
Schlegel wireframe 24-cell.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{3,4,3}
600-celica
Stereographic polytope 600cell.png
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
{3,3,5}
120-celica
Schlegel wireframe 120-cell.png
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{5,3,3}
rektificirana 5-celica
Schlegel half-solid rectified 5-cell.png
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
t1{3,3,3}
rektificirana 16-celica
Schlegel half-solid rectified 16-cell.png
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
t1{3,3,4}
rektificirani teserakt
Schlegel half-solid rectified 8-cell.png
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
t1{4,3,3}
rektificirani polteserakt
Schlegel wireframe 24-cell.png
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch 10.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png

t1{31,1,1}

rektificirana 24-celica
Schlegel half-solid cantellated 16-cell.png
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
t1{3,4,3}
rektificirana 600-celica
Rectified 600-cell schlegel halfsolid.png
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
t1{3,3,5}
rektificirana 120-celica
Rectified 120-cell schlegel halfsolid.png
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
t1{5,3,3}
prirezana 5-celica
Schlegel half-solid truncated pentachoron.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
t0,1{3,3,3}
prirezana 16-celica
Schlegel half-solid truncated 16-cell.png
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1{3,3,4}
prisekani
Schlegel half-solid truncated tesseract.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
t0,1{4,3,3}
prisekani polteserakt
Schlegel half-solid truncated 16-cell.png
CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch 10.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png

t0,1{31,1,1}

prirezana 24-celica
Schlegel half-solid truncated 24-cell.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
t0,1{3,4,3}
prirezana 600-celica
Schlegel half-solid truncated 600-cell.png
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1{3,3,5}
prirezana 120-celica
Schlegel half-solid truncated 120-cell.png
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
t0,1{5,3,3}
kantelirana 5-celica
Schlegel half-solid cantellated 5-cell.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
t0,2{3,3,3}
kantelirana 16-celica
Schlegel half-solid cantellated 16-cell.png
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,2{3,3,4}
kantelirani teserakt
Schlegel half-solid cantellated 8-cell.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
t0,2{4,3,3}
kantelirani polteserakt
Schlegel half-solid rectified 8-cell.png
CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.png

t0,2{31,1,1}

kantelirana 24-celica
Cantel 24cell1.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
t0,2{3,4,3}
kantelirana 600-celica
Cantellated 600 cell center.png
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,2{3,3,5}
kantelirana 120-celica
Cantellated 120 cell center.png
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
t0,2{5,3,3}
runcinirana 5-celica
Schlegel half-solid runcinated 5-cell.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,3{3,3,3}
runcinirana 16-celica
Schlegel half-solid runcinated 16-cell.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,3{3,3,4}
runcinirani teserakt
Schlegel half-solid runcinated 8-cell.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,3{4,3,3}
runcinirana 24-celica
Runcinated 24-cell Schlegel halfsolid.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,3{3,4,3}
runcinirana 600-celica
runcinirana 120-celica
Runcinated 120-cell.png
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,3{3,3,5}
dvojno prirezana 5-celica
Schlegel half-solid bitruncated 5-cell.png
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
t1,2{3,3,3}
dvojno prirezana 16-celica
Schlegel half-solid bitruncated 16-cell.png
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
t1,2{3,3,4}
dvojno prisekani teserakt
Schlegel half-solid bitruncated 8-cell.png
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
t1,2{4,3,3}
dvojno prirezana 24-celica
Bitruncated 24-cell Schlegel halfsolid.png
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
t1,2{3,4,3}
dvojno prirezana 600-celica
dvojno prirezana 120-celica
Bitruncated 120-cell schlegel halfsolid.png
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
t1,2{3,3,5}
cantiprirezana 5-celica
Schlegel half-solid cantitruncated 5-cell.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
t0,1,2{3,3,3}
kantiprirezana 16-celica
Schlegel half-solid cantitruncated 16-cell.png
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2{3,3,4}
kantiprisekani teserakt
Schlegel half-solid cantitruncated 8-cell.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
t0,1,2{4,3,3}
kaniprisekani polteserakt
Schlegel half-solid bitruncated 16-cell.png
CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch 10.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.png

t0,1,2{31,1,1}

kantiprirezana 24-celica
Cantitruncated 24-cell schlegel halfsolid.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
t0,1,2{3,4,3}
kantiprirezana 600-celica
Cantitruncated 600-cell.png
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2{3,3,5}
kantiprirezana 120-celica
Cantitruncated 120-cell.png
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
t0,1,2{5,3,3}
runciprirezana 5-celica
Schlegel half-solid runcitruncated 5-cell.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,3{3,3,3}
runciprirezana 16-celica
Schlegel half-solid runcitruncated 16-cell.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,3{3,3,4}
runciprisekani teserakt
Schlegel half-solid runcitruncated 8-cell.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,3{4,3,3}
runcikantelirani polteserakt
Schlegel half-solid cantellated 16-cell.png
CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch 01lr.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.png

t0,2,3{31,1,1}

runciprirezana 24-celica
Runcitruncated 24-cell.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,3{3,4,3}
runciprirezana 600-celica
Runcitruncated 600-cell.png
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,3{3,3,5}
runciprirezana 120-celica
Runcitruncated 120-cell.png
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,3{5,3,3}
omniprirezana 5-celica
Schlegel half-solid omnitruncated 5-cell.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2,3{3,3,3}
omniprirezana 16-celica
Schlegel half-solid omnitruncated 16-cell.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2,3{3,3,4}
omniprisekaniteserakt
Schlegel half-solid omnitruncated 8-cell.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2,3{3,3,4}
omniprisekani polteserakt
Schlegel half-solid truncated 24-cell.png
CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch 11.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.png

t0,1,2,3{31,1,1}

omniprirezana 24-celica
Omnitruncated 24-cell.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2,3{3,4,3}
omniprirezana 120-celica
omniprirezana 600-celica
Omnitruncated 120-cell wireframe.png
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2,3{5,3,3}
alteternirana kantiprirezana 16-celica
Schlegel half-solid alternated cantitruncated 16-cell.png
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
h0,1,2{3,3,4}
prirezani polteserakt
Ortho solid 969-uniform polychoron 343-snub.png
CDel nodea h.pngCDel 3a.pngCDel branch hh.pngCDel 3a.pngCDel nodea h.png

s{31,1,1}

alternirana prisekana 24-celica
Ortho solid 969-uniform polychoron 343-snub.png
CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
h0,1{3,4,3}

Prisekane oblike[uredi | uredi kodo]

V naslednji preglednici je definiranih 15 oblik. Vsako prisekanje tvori obliko iz ene ali štirih rst celic, ki se nahajajo na mestih označenih z 0, 1, 2, 3 kot je to označeno zgoraj. Celice so označene z oznakami za prisekovanje:

  • n-kotna prizma je prikazana kot {n}x{2}.
  • zeleno ozadje je prikazano na oblikah, ki so enakovredne osnovni ali dualni obliki

rdeče ozadje prikazuje prisekanja osnovnih oblik in modro prisekanja dualnih oblik

operacija razširjeni
Schläflijevi
simboli
Coxeter-
Dynkinov
diagram
položaj
(3) (2) (1) (0)
starševski t0{p,q,r} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png
{p,q}
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
{p}
CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.png
{}
CDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.png
--
rektificirano t1{p,q,r} CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png
t1{p,q}
CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png
{p}
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.png
--
CDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.png
{q,r}
dvojno rektificirano
(ali rektificirani dual)
t2{p,q,r} CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png
{q,p}
CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
--
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel r.pngCDel node.png
{r}
CDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.pngCDel node.png
t1{q,r}
trojno rektificirano
(ali dual)
t3{p,q,r} CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png
--
CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
{}
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node 1.png
{r}
CDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node 1.png
t2{q,r}
prisekano t0,1{p,q,r} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png
t0,1{p,q}
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png
{2p}
CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.png
{}
CDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.png
{q,r}
dvojna prisekanost t1,2{p,q,r} CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png
t1,2{p,q}
CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png
{p}
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel r.pngCDel node.png
{r}
CDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.pngCDel node.png
t0,1{q,r}
trojna prisekanost
(ali prisekani dual)
t2,3{p,q,r} CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png
{q,p}
CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
{}
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel r.pngCDel node 1.png
{2r}
CDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.pngCDel node 1.png
t1,2{q,r}
kantelirano t0,2{p,q,r} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png
t0,2{p,q}
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
{p}
CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel r.pngCDel node.png
{}x{r}
CDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.pngCDel node.png
t1{q,r}
dvojno kantelirano
(ali kantelirani dual)
t1,3{p,q,r} CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png
t1{p,q}
CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
{p}x{}
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node 1.png
{r}
CDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node 1.png
t0,2{q,r}
runcinirano
(ali razširjeno)
t0,3{p,q,r} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png
{p,q}
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
{p}x{}
CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node 1.png
{}x{r}
CDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node 1.png
t2{q,r}
kaniprisekano t0,1,2{p,q,r} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png
t0,1,2{p,q}
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png
{2p}
CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel r.pngCDel node.png
{}x{r}
CDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.pngCDel node.png
t0,1{q,r}
dvojno kantiprisekano
(ali kantiprisekani dual)
t1,2,3{p,q,r} CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png
t1,2{p,q}
CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
{p}x{}
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel r.pngCDel node 1.png
{2r}
CDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.pngCDel node 1.png
t0,1,2{q,r}
runciprisekano t0,1,3{p,q,r} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png
t0,1{p,q}
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
{2p}x{}
CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node 1.png
{}x{r}
CDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node 1.png
t0,2{q,r}
runcikantelirano
(ali runciprisekani dual)
t0,2,3{p,q,r} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png
t0,1,2{p,q}
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
{p}x{}
CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel r.pngCDel node 1.png
{}x{2r}
CDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.pngCDel node 1.png
t1,2{q,r}
runciprisekano
(ali omniprisekano)
t0,1,2,3{p,q,r} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png
t0,1,2{p,q}
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
{2p}x{}
CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel r.pngCDel node 1.png
{}x{2r}
CDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.pngCDel node 1.png
t0,1,2{q,r}

Pet in več razsežnosti[uredi | uredi kodo]

V petih in višjih razsežnostih so znani trije pravilni politopi. To so hiperkocka, simpleks in ortopleks (kokocka), ki so posplošitve trirazsežnih teles (kocke, tetraedra in oktaedra). V treh razsežnostih ni pravilnih zvezdnih politopov. Večino večrazsežnih politopov dobimo s spremembami pravilnih pravilnih politopov ali s pomočjo kartezičnega produkta politopov z nižjimi razsežnostmi.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]