Pojdi na vsebino

Uniformni polihoron

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Schleglov diagram za prisekano 120 celico z vidnimi tetraederskimi celicami. Ta vrsta projekcije v perspektivi kaže kot, da so robovi manjši proti središču projekcije.
Ortografska projekcija prisekane 120-celice v H3 Coxeterjevi ravnini (simetrija D10). Prikazana so samo oglišča in robovi.

Uniformni polihoron je v geometriji polihoron ali 4-politop, ki je ogliščno prehoden. Njegove celice so uniformni poliedri.

Zgodovina odkritij

[uredi | uredi kodo]
  • Pravilni politopi (konveksne stranske ploskve)
    • Leta 1852 je Ludwig Schläfli (1814-1895) v svojem rokopisu Theorie der vielfachen Kontinuitet dokazal, da obstaja natančno 6 pravilnih politopov v štirih razsežnostih in samo 3 v petih ali več razsežnostih.
  • pravilni zvezdni polihoroni (celice zvezdnega poliedra in/ali slike oglišč)
    • Leta 1852 je Ludwig Schläfli našel štiri od desetih zvezdnih polihoronov
    • Leta 1883 je Edmund Hess (1843–1903) izpopolnil seznam desetih nekonveksnih polihoronov v knjigi Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder
  • Konveksni polpravilni politopi (različne definicije preden je Coxeter določil uniformno kategorijo)
    • Leta 1900 je Thorold Gosset (1869-1962) oštevilčil v seznamu neprizmatičnih polpravilnih konveksnih politopov s pravilnimi celicami (platonska telesa) v svoji publikaciji On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions.[1]
    • Leta 1910 Alicia Boole Stott (1860–1940) v svoji publikaciji Geometrical deduction of semiregular from regular polytopes and space fillings razširila definicijo s tem, da je dovolila arhimedska telesa in celice prizem. Takšen način obravnavanja je štel 45 polpravilnih polihoronov.[2]
    • Leta 1911 je Pieter Hendrik Schoute (1846-1923) objavil delo Analytic treatment of polytopes regulary derived from the regular polytopes. Temu je sledilo oštevilčenje konveksnih uniformnih politopov s simetrijo osnovano na 5 celici, 8 celici, 16 celici in 24 celici.
    • Leta 1912 je Emanuel Lodewijk Elte razširil Gossetov seznam z objavo dela The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces z enim ali dvema vrstama polpravilnih facet.
  • Konveksni uniformni politopi
    • Leta 1940 so se raziskave sistematično nadaljevale z delom Harolda Scotta MacDonalda Coxeterja (1907–2003)v njegovi publikaciji Regular and Semi-Regular Polytopes
      • Konveksni uniformni polihoroni
      • Leta 1940 so se raziskave sistematično razširile z delom Harolda Scotta MacDonald Coxeterja v njegovi knjigi Regular and Semi-Regular Polytopes.
      • Leta 1965 je bil dokončno izdelan seznam konveksnih oblik, ki sta ga pripravila John Horton Conway (rojen 1937) in Michael Guy (rojen 1942) v njuni publikaciji.
      • Leta 1966 je matematik Norman Johnson (rojen 1930) dokončal svojo doktorsko dizertacijo
      • Leta 1997 je George Olshevsky (rojen 1946) podal poln seznam in imena ter elemente konveksnih polihoronov
      • Leta 2004 je izšel dokaz, da je Conway-Guyeva množica popolna, kar je oblavil Marco Möller v svoji dizertaciji Vierdimensionale Archimedische Polytope.[3]
  • Nepravilni uniformni zvezdni polihoroni (podobni so nekonveksnim uniformnim poliedrom)
    • Pot naprej Znanih je na tisoče nekonveksnih polihoronov, toda večina od njih je neobjavljenih. Tudi njihov seznam verjetno še ni popoln. Prav tako ni ocen kako dolg bi naj bil popoln seznam. Med najbolj znanimi raziskovalci na tem področju so Jonathan Bowers (rojen 1969 [4]), George Olshevsky (rojen 1946) in Norman Johnson (rojen 1930).

Pravilni polihoroni

[uredi | uredi kodo]

Uniformni polihoroni vključujejo dve posebni podskupini, ki zadoščata dodatnim zahtevam:

Konveksni uniformni polihoroni

[uredi | uredi kodo]
BC4, D4 in F4 so ustrezne zrcalnim vozlom v Coxeterjevih diagramih, omogočajo večkratne Wythoffove konstrukcije istih uniformnih polihoronov. A4 in F4 imajo also have a symmetry doubling when the nodes have front to back symmetry.
Za ta zgled so prikazane tri konstrukcije rektificirane 24 celice: , , .

Znanih je 64 uniformnih konveksnih polihoronov, vključno s šestimi pravilnimi konveksnimi polihoroni. Sem ni šteta neskončna množica duoprizem in antiprizmatičnih hiperprizem.

  • pet je poliederskih prizem osnovanih na platonskih telesih
  • trinajst je poliederskih prizem osnovanih na arhimedskih telesih
  • devet jih je v družini grupe pravilnih sebi dualnih A4[3,3,3] (5 celica)
  • devet je članov v družini grupe pravilnih sebi dualnih F4[3,4,3] (24 celica), razen prirezane 24-celice
  • petnajst jih je v družini pravilne grupe BC4 (129 celica/600 celica)
  • ena posebna prirezana oblika družine v grupi [3,4,3] (24 celica)
  • ena posebna ne-Wythoffov polihoron , velika antiprizma
  • Skupaj je to 68 – 4 = 64

Teh 64 polihoronov je indeksiral izdajatelj, pisec in založnik George Olshevsky (rojen 1946).

Skupina A4

[uredi | uredi kodo]

5-celica ima diploidno pentahorsko [3,3,3] simetrijo z redom 120, izomorfnih s permutacijami petih elementov, ker so vsi pari oglišč povezani na isti način. V spodnjem seznamu so tri oblike označene z *. Te imajo višjo razširjeno pentahorsko simetrijo reda 240, [[3,3,3]] ker se elementi, ki pripadajo osnovni 5-celici, lahko zamenjajo z enim od tistih, ki odgovarjajo elementom duala.

Facete (celice) so podane in razvrščene v skupine v svojih Coxeter-Dinkinovih lokacijah z odstranitvijo določenih vozlov.

# Johnsonovo ime
Bowersovo ime (in okrajšava)
slika
oglišč
Coxeter-Dinkinov
in Schläflijevi
simboli
Število celic po položaju Število elementov
položaj 3

(5)
položaj 2

(10)
položaj 1

(10)
položaj 0

(5)
celice stranske ploskve robovi oglišča
1 5 celica
pentahoron (pen)

{3,3,3}
(4)

(3.3.3)
5 10 10 5
2 rektificirana 5 celica
rektificirani pentahoron (rap)

t1{3,3,3}
(3)

(3.3.3.3)
(2)

(3.3.3)
10 30 30 10
3 prisekana 5 celica
prisekani pentahoron (tip)

t0,1{3,3,3}
(3)

(3.6.6)
(1)

(3.3.3)
10 30 40 20
4 kantelirana 5 celica
mali rombski pentahoron (srip)

t0,2{3,3,3}
(2)

(3.4.3.4)
(2)

(3.4.4)
(1)

(3.3.3.3)
20 80 90 30
5 *runcinirana 5 celica
mali prizmatični dodekaeder (spid)

t0,3{3,3,3}
(1)

(3.3.3)
(3)

(3.4.4)
(3)

(3.4.4)
(1)

(3.3.3)
30 70 60 20
6 *dvojno prisekana 5 celica
dekakron (deca)

t1,2{3,3,3}
(2)

(3.6.6)
(2)

(3.6.6)
10 40 60 30
7 kantiprisekana 5 celica
veliki rombski pentahoron (grip)

t0,1,2{3,3,3}
(2)

(4.6.6)
(1)

(3.4.4)
(1)

(3.6.6)
20 80 120 60
8 runciprisekana 5 celica
prizemskorombski pentahoron (prip)

t0,1,3{3,3,3}
(1)

(3.6.6)
(2)

(4.4.6)
(1)

(3.4.4)
(1)

(3.4.3.4)
30 120 150 60
9 *omniprisekana 5 celica
veliki prizmatični dekahoron (gippid)

t0,1,2,3{3,3,3}
(1)

(4.6.6)
(1)

(4.4.6)
(1)

(4.4.6)
(1)

(4.6.6)
30 150 240 120

Grafi

[uredi | uredi kodo]

Tri Coxeterjeve ravnine dvorazsežne projekcije so dane za A4, A3, A2 Coxeterjeve grupe, ki kažejo simetrijo reda 5,4,3 ter so podvojene za parne Ak rede na 10, 4, 6 za simetrične Coxeterjeve diagrame.

Trirazsežne slike so narisane kot projekcije Schleglovih diagramov usredinjenih na celice na položaju 3, s pravilno orientacijo in petimi celicami na položaju 0 kot je prikazano.

# Johnsonovo ime
Bowersovo ime (in okrajšava)
Coxeter-Dinkinov diagram
in Schläflijevi
simboli
Coxeterjev element#Coxeterjeva ravnina grafi Schleglov
diagram
A4
[5]
A3
[4]
A2
[3]
tetraeder
usrediščen
dualni tetraeder
usrediščen
1 5 celica
pentahoron (pen)

{3,3,3}
2 rektificirana 5 celica
rektificirani pentahoron (rap)

t1{3,3,3}
3 prisekana 5 celica
prisekani pentahoron (tip)

t0,1{3,3,3}
4 kantelirana 5 celica
mali rombski pentahoron (srip)

t0,2{3,3,3}
5 *runcinirana 5 celica
mali prizmatičen dodekahoron (spid)

t0,3{3,3,3}
6 *dvojno prisekana 5 celica
dekahoron (deca)

t1,2{3,3,3}
7 kantiprisekana 5 celica
veliki rombski pentahoron (grip)

t0,1,2{3,3,3}
8 runciprisekana 5 celica
przmatičnorombski pentahoron (prip)

t0,1,3{3,3,3}
9 *omniprisekana 5 celica
veliki prizmatični dekahoron (gippid)

t0,1,2,3{3,3,3}

Koordinate

[uredi | uredi kodo]

Koordinate uniformnega 4-politopa s pentahorsko simetrijo se lahko generira s permutacijami celih števil v petrazsežnem prostoru s hiperravninami, ki imajo normalni vektor (1,1,1,1,1). A4 Coxeterjeva grupa je palindromska tako, da politopi obstajajo v parih dualnih oblik. Znani so trije simetrični položaji in šest parov, kar skupaj daje petnajst permutacij enega ali več kolobarjev. Vsi so navedeni spodaj v zaporedju dvojiški številski sistem zato, da je razumljivejše generiranje koordinat iz kolobarjev za vsak Coxeter-Dinkinov diagram.

Število oglišč se dobi iz permutacij števila koordinat.

Prisekanja pentahorona v petrazsežnem prostoru:
# Osnovna točka Ime
(simetrično ime)
Coxeter-Dinkin oglišča
1 (0, 0, 0, 0, 1) 5 celica 5
2 (0, 0, 0, 1, 1) rektificirana 5 celica 10
3 (0, 0, 0, 1, 2) prisekana 5 celica 20
4 (0, 0, 1, 1, 1) dvojno rektificirana 5 celica
(rektificirana 5 celica)
10
5 (0, 0, 1, 1, 2) kantelirana 5 celica 30
6 (0, 0, 1, 2, 2) dvojno prisekana 5 celica 30
7 (0, 0, 1, 2, 3) kantiprisekana 5 celica 60
8 (0, 1, 1, 1, 1) trojno rektificirana 5 celica
(5 celica)
5
9 (0, 1, 1, 1, 2) runcinirana 5 celica 20
10 (0, 1, 1, 2, 2) dvojno kantelirana 5 celica
(kantelirana 5 celica)
30
11 (0, 1, 1, 2, 3) runciprisekana 5 celica 60
12 (0, 1, 2, 2, 2) trojno prisekana 5 celica
(prisekana 5 celica)
20
13 (0, 1, 2, 2, 3) runcikantelirana 5 celica
(runciprisekana 5 celica)
60
14 (0, 1, 2, 3, 3) dvojno kantiprisekana 5 celica
(kantiprisekana 5 celica)
60
15 (0, 1, 2, 3, 4) omniprisekana 5 celica 120

Skupina BC4

[uredi | uredi kodo]

Ta skupina ima diploidno heksadekahorično simetrijo reda 24*16=384: 4!=24 permutacij štirih osi, 24=16 pa je za zrcaljenje na vsaki osi.

Prisekanja teserakta

[uredi | uredi kodo]
# Johnsonovo ime
(okrajšava na Bowersov način)
Slika
oglišč
Coxeter-Dinkinov
in Schläflijevi
simboli
Število celic po položaju Število elementov
položaj 3

(8)
položaj
2

(24)
položaj 1

(32)
položaj 0

(16)
celice stranske ploskve robovi oglišča
10 8 celica
ali teserakt (tes)

{4,3,3}
(4)

(4.4.4)
8 24 32 16
11 rektificirana 8 celica (rit)
t1{4,3,3}
(3)

(3.4.3.4)
(2)

(3.3.3)
24 88 96 32
13 prisekana 8 celica (tat)
t0,1{4,3,3}
(3)

(3.8.8)
(1)

(3.3.3)
24 88 128 64
14 kantelirana 8 celica (srit)
t0,2{4,3,3}
(1)

(3.4.4.4)
(2)

(3.4.4)
(1)

(3.3.3.3)
56 248 288 96
15 runcinirana 8 celica
(tudi runcinirana 16 celica) (sidpith)

t0,3{4,3,3}
(1)

(4.4.4)
(3)

(4.4.4)
(3)

(3.4.4)
(1)

(3.3.3)
80 208 192 64
16 dvojno prisekana 8 celica
(tudi dvojno prisekana 16 celica) (tah)

t1,2{4,3,3}
(2)

(4.6.6)
(2)

(3.6.6)
24 120 192 96
18 kantiprisekana 8 celica (grit)
t0,1,2{4,3,3}
(2)

(4.6.8)
(1)

(3.4.4)
(1)

(3.6.6)
56 248 384 192
19 runciprisekana 8 celica (proh)
t0,1,3{4,3,3}
(1)

(3.8.8)
(2)

(4.4.8)
(1)

(3.4.4)
(1)

(3.4.3.4)
80 368 480 192
21 omniprisekana 8 celica
(tudi omniprisekana 16 celica) (gidpith)

t0,1,2,3{3,3,4}
(1)

(4.6.8)
(1)

(4.4.8)
(1)

(4.4.6)
(1)

(4.6.6)
80 464 768 384
12 polteserakt
16 celica (hex)

h0{4,3,3}

(3.3.3)
(half)

(3.3.3)
16 32 24 8

Prisekanja 16 celice

[uredi | uredi kodo]
# Johnsonovo ime (okrajšava na Bowersov način) slika
oglišč
Coxeter-Dinkinov diagram
in Schläflijevi
simboli
število celic po položaju Število elementov
položaj 3

(8)
položaj 2

(24)
položaj 1

(32)
položaj 0

(16)
Celice Stranske ploskve Robovi Oglišča
[12] 16 celica (hex)
{3,3,4}
(8)

(3.3.3)
16 32 24 8
[22] *rektificirana 16 celica
(isto kot 24 celica) (ico)

t1{3,3,4}
(2)

(3.3.3.3)
(4)

(3.3.3.3)
24 96 96 24
17 prisekana 16 celica (thex)
t0,1{3,3,4}
(1)

(3.3.3.3)
(4)

(3.6.6)
24 96 120 48
[23] *kantelirana 16 celica
(isto kot rektificirana 24 celica) (rico)

t0,2{3,3,4}
(1)

(3.4.3.4)
(2)

(4.4.4)
(2)

(3.4.3.4)
48 240 288 96
[15] runcinirana 16 celica
(tudi runcinirana 8 celica) (sidpith)

t0,3{3,3,4}
(1)

(4.4.4)
(3)

(4.4.4)
(3)

(3.4.4)
(1)

(3.3.3)
80 208 192 64
[16] dvojno prisekana 16 celica
(tudi dvojno prisekana 8 celica) (tah)

t1,2{3,3,4}
(2)

(4.6.6)
(2)

(3.6.6)
24 120 192 96
[24] *kantiprisekana 16 celica
(isto kot prisekana 24 celica) (tico)

t0,1,2{3,3,4}
(1)

(4.6.6)
(1)

(4.4.4)
(2)

(4.6.6)
48 240 384 192
20 runciprisekana 16 celica (prit)
t0,1,3{3,3,4}
(1)

(3.4.4.4)
(1)

(4.4.4)
(2)

(4.4.6)
(1)

(3.6.6)
80 368 480 192
[21] omniprisekana 16 celica
(tudi omniprisekana 8 celica) (gidpith)

t0,1,2,3{3,3,4}
(1)

(4.6.8)
(1)

(4.4.8)
(1)

(4.4.6)
(1)

(4.6.6)
80 464 768 384
[31] alternirana kantiprisekana 16 celica
(isto kot prirezana 24-celica) (sadi)

h0,1,2{3,3,4}
(1)

(3.3.3.3.3)
(1)

(3.3.3)
(4)
(96)
(3.3.3)
(2)

(3.3.3.3.3)
144 480 432 96
(*) Tako kot rektifikacija tetraedra naredi oktaeder, tako tudi rektifikacija 16 celice naredi 24 celico, ki je član naslednje skupine (družine).

Prirezana 24-celica je običajno v tej skupini zaradi popolnosti. To je alternacija kantiprisekane16 celice ali prisekane 24 celice s polovično simetrijsko grupo [(3,3)+,4]. Prisekane oktaederske celice postanejo ikozaedri. Kocka postane tetraeder in 96 novih tetraedrov nastane v prazninah odstranjenih oglišč.

Grafi

[uredi | uredi kodo]

Slike so prikazane kot projekcije v perspektivi Schleglovih diagramov usrediščenih na celice v položaju 3 s primerno orientacijo in 16 celic na položaju 0, ki so prikazane z drugačno barvo.

# Johnsonovo

ime
(okrajšava na Bowersov način)

projekcije Coxeterjeva ravnina Schleglovi
diagrami
F4
[12/3]
B4
[8]
B3
[6]
B2
[4]
A3
[4]
kocka
usrediščena
tetraeder
usrediščen
10 8 celica
ali teserakt (tes)
11 rektificirana 8 celica (rit)
12 16 celica (hex)
13 prisekana 8 celica (tat)
14 kantelirana 8 celica (srit)
15 runcinirana 8 celica
(tudi runcinirana 16 celica) (sidpith)
16 dvojno prisekana 8 celica
(tudi dvojno prisekana 16 celica) (tah)
17 prisekana 16 celica (thex)
18 kantiprisekana 8 celica (grit)
19 runciprisekana 8 celica (proh)
20 runciprisekana 16 celica (prit)
21 omniprisekana 8 celica
(tudi omniprisekana 16 celica) (gidpith)
[22] *rektificirana 16 celica
(isto kot 24 celica) (ico)
[23] *kantelirana 16 celica
(isto kot rektificirana 24 celica) (rico)
[24] *kantiprisekana 16 celica
(isto kot prisekana 24 celica) (tico)
[31] alternirana kantiprisekana 16 celica
(isto kot prirezana 24-celica) (sadi)

Koordinate

[uredi | uredi kodo]

Teseraktna skupina polihoronov je podana s pomočjo konveksnih ogrinjač z določenimi osnovnimi točkami, ki so naštete v naslednji tabeli z vsemi permutacijami koordinat. Vsak osnovna točka generira drugi uniformni polihoron. Vse koordinate pripadajo uniformnemu polihoronu, ki ima dolžino roba enako 2.

Koordinate za uniformne polihorone v skupini teserakta/16 celica
# Osnovna točka Johnsonovo ime
Bowersovo ime (okrajšava na Bowersov način)
Coxeter-Dinkin
1 (0,0,0,1)√2 16 celica
heksadekahoron (hex)
2 (0,0,1,1)√2 rektificirana 16 celica
ikozitetrahoron (ico)
3 (0,0,1,2)√2 prisekana 16 celica
prisekani heksadekahoron (thex)
4 (0,1,1,1)√2 rektificiran teserakt (dvojno rektificirana 16 celica)
rektificirani teserakt (rit)
5 (0,1,1,2)√2 kantelirana 16 celica
rektificirani ikozitetrahoron (rico)
6 (0,1,2,2)√2 dvojno prisekana 16 celica
teseraktiheksadekahoron (tah)
7 (0,1,2,3)√2 kantiprisekana 16 celica
prisekani ikozotetrahoron (tico)
8 (1,1,1,1) teserakt
teserakt (tes)
9 (1,1,1,1) + (0,0,0,1)√2 runcinirani teserakt (runcinirana 16 celica)
mali diprizmoteseraktiheksadekahoron (sidpith)
10 (1,1,1,1) + (0,0,1,1)√2 kantelirani teserakt
mali rombski teserakt (srit)
11 (1,1,1,1) + (0,0,1,2)√2 runcinirana 16 celica
prizmatorombski teserakt (prit)
12 (1,1,1,1) + (0,1,1,1)√2 prisekani teserakt
prisekani teserakt (tat)
13 (1,1,1,1) + (0,1,1,2)√2 runciprisekani teserakt (runcikantelirana 16 celica)
prizmatorombski heksadekahoron (proh)
14 (1,1,1,1) + (0,1,2,2)√2 kantiprisekani teserakt
veliki rombski teserakt (grit)
15 (1,1,1,1) + (0,1,2,3)√2 omniprisekana 16 celica (omniprisekani teserakt)
veliki disprizmatoteseraktiheksadekahoron (gidpith)

Skupina F4

[uredi | uredi kodo]

Ta skupina ima diploidno ikozitetrahorsko simetrijo reda 24*48=1152: 48 simetrij oktaedra za vsakih 24 celic.

# Ime Slika
oglišč
Coxeter-Dinkinov
in Schläflijevi
simboli
Število celic po položaju Število elementov
položaj 3

(24)
položaj 2

(96)
položaj 1

(96)
položaj 0

(24)
Celice Stranske ploskve Robovi Oglišča
22 24 celica
(isto kot rektificirana 16 celica) (ico)

{3,4,3}
(6)

(3.3.3.3)
24 96 96 24
23 rektificirana 24 celica
(isto kot kantelirana 16 celica) (rico)

t1{3,4,3}
(3)

(3.4.3.4)
(2)

(4.4.4)
48 240 288 96
24 prisekana 24 celica
(isto kot kantiprisekana 16 celica) (tico)

t0,1{3,4,3}
(3)

(4.6.6)
(1)

(4.4.4)
48 240 384 192
25 kantelirana 24 celica (srico)
t0,2{3,4,3}
(2)

(3.4.4.4)
(2)

(3.4.4)
(1)

(3.4.3.4)
144 720 864 288
26 *runcinirana 24 celica (spic)
t0,3{3,4,3}
(1)

(3.3.3.3)
(3)

(3.4.4)
(3)

(3.4.4)
(1)

(3.3.3.3)
240 672 576 144
27 *dvojno prisekana 24 celica (cont)
t1,2{3,4,3}
(2)

(3.8.8)
(2)

(3.8.8)
48 336 576 288
28 kantiprisekana 24 celica (grico)
t0,1,2{3,4,3}
(2)

(4.6.8)
(1)

(3.4.4)
(1)

(3.8.8)
144 720 1152 576
29 runciprisekana 24 celica (prico)
t0,1,3{3,4,3}
(1)

(4.6.6)
(2)

(4.4.6)
(1)

(3.4.4)
(1)

(3.4.4.4)
240 1104 1440 576
30 *omniprisekana 24 celica (gippic)
t0,1,2,3{3,4,3}
(1)

(4.6.8)
(1)

(4.4.6)
(1)

(4.4.6)
(1)

(4.6.8)
240 1392 2304 1152
31 alternirana prisekana 24 celica
†(isto kot prirezana 24-celica) (sadi)

h0,1{3,4,3}
(3)

(3.3.3.3.3)
(4)

(3.3.3)
(1)

(3.3.3)
144 480 432 96
(*) Tako kot je 5 celica sebi dualna je tudi 24 celica sebi dualna in tako imajo tri imena, označena z zvezdico, dvakrat toliko simetrij. To pa da skupaj 2304 (razširjana ikozitetrahorna grupa [[3,4,3]]).
(†) Prirezana 24-celica kljub imenu ni analog prirezani kocki, ker se dobi z alternacijo iz prisekane 24 celice. Njena številka simetrije je 576, (ionsko zmanjšana ikozitetrahorna grupa, [3+,4,3]).

Grafi

[uredi | uredi kodo]
# Name
Coxeter-Dinkinov
Schläflijev simbol
Graf
Schleglov
diagram
Ortogonalna
projekcija
F4
[12]
B4
[8]
B3
[6]
B2
[4]
oktaeder
usrediščen
dualni oktaeder
usrediščen
oktaeder
usrediščen
22 24 celica (ico)
(rektificirana 16 celica)

{3,4,3}
23 rektificirana 24 celica (rico)
(kantelirana 16 celica)

t1{3,4,3}
24 prisekana 24 celica (tico)
(kantiprisekana 16 celica)

t0,1{3,4,3}
25 kantelirana 24 celica (srico)

t0,2{3,4,3}
26 *runcinirana 24 celica (spic)

t0,3{3,4,3}
27 *dvojno prisekana 24 celica (cont)

t1,2{3,4,3}
28 kantiprisekana 24 celica (grico)

t0,1,2{3,4,3}
29 runciprisekana 24 celica (prico)

t0,1,3{3,4,3}
30 *omniprisekana 24 celica (gippic)

t0,1,2,3{3,4,3}
31 alternirana prisekana 24 celica
†(isto kot prirezana 24-celica) (sadi)

h0,1{3,4,3}

Koordinate

[uredi | uredi kodo]

Koordinate oglišč za vseh 15 oblik je podanih v nadaljevanju, vključno z dualno obliko dveh pravilnih 24 celic. (dualne oblike so prikazane v mastnem tisku.) Aktivni kolobarji v prvem in drugem vozlu generirajo točke, ki so v prvem stolpcu. Aktivni kolobarji v tretjem in četrtem vozlu generirajo točke v drugem stolpcu. Vsota vsake izmed teh točk so permutirane po položaju koordinat in znaku kombinacij. To generira vse koordinate oglišč. Dolžina robov je enaka 2.

Edina izjema je prirezana 24-celica, ki je generirana s polovico permutacij koordinat, samo parno število koordinat se izmenjuje. φ=(√5+1)/2.

Koordinate skupine 24 celic
Osnovne točke
t(0,1)
Osnovne točke
t(2,3)
Schläflijev simbol Ime
Coxeter-Dinkinov diagram
 
(0,0,1,1)√2 t0{3,4,3} 24 celica
(0,1,1,2)√2 t1{3,4,3} rektificirana 24 celica
(0,1,2,3)√2 t0,1{3,4,3} prisekana 24 celica
(0,1,φ,φ+1)√2 h0,1{3,4,3} prirezana 24-celica
 
(0,2,2,2)
(1,1,1,3)
t2{3,4,3} Birectified 24-cell
(rektificirana 24 celica)
(0,2,2,2) +
(1,1,1,3) +
(0,0,1,1)√2
"
t0,2{3,4,3} kantelirana 24 celica
(0,2,2,2) +
(1,1,1,3) +
(0,1,1,2)√2
"
t1,2{3,4,3} dvojno prisekana 24 celica
(0,2,2,2) +
(1,1,1,3) +
(0,1,2,3)√2
"
t0,1,2{3,4,3} kantiprisekana 24 celica
 
(0,0,0,2)
(1,1,1,1)
t3{3,4,3} trojno rektificirana 24 celica
(24 celica)
(0,0,0,2) +
(1,1,1,1) +
(0,0,1,1)√2
"
t0,3{3,4,3} runcinirana 24 celica
(0,0,0,2) +
(1,1,1,1) +
(0,1,1,2)√2
"
t1,3{3,4,3} dvojno kantelirana 24 celica
(kantelirana 24 celica)
(0,0,0,2) +
(1,1,1,1) +
(0,1,2,3)√2
"
t0,1,3{3,4,3} runciprisekana 24 celica
 
(1,1,1,5)
(1,3,3,3)
(2,2,2,4)
t2,3{3,4,3} trojno prisekana 24 celica
(prisekana 24 celica)
(1,1,1,5) +
(1,3,3,3) +
(2,2,2,4) +
(0,0,1,1)√2
"
"
t0,2,3{3,4,3} runciprisekana 24 celica
(runciprisekana 24 celica)
(1,1,1,5) +
(1,3,3,3) +
(2,2,2,4) +
(0,1,1,2)√2
"
"
t1,2,3{3,4,3} dvojno kantiprisekana 24 celica
(kantiprisekana 24 celica)
(1,1,1,5) +
(1,3,3,3) +
(2,2,2,4) +
(0,1,2,3)√2
"
"
t0,1,2,3{3,4,3} omniprisekana 24 celica

Skupina H4

[uredi | uredi kodo]

Ta skupina ima diploidno heksakozihorično simetrijo reda 120*120=24*600=14400: 120 je za vsakega od 120 dodekaedrov ali 24 za vsakega od 600 tetraedrov.

Prisekanja 120-celice

[uredi | uredi kodo]
# Johnsonovo ime
(okrajšava na Bowersov način)
Slika
oglišč
Coxeter-Dinkin
in Schläflijevi
simboli
Število celic po položaju Število elementov
položaj 3

(120)
položaj 2

(720)
položaj 1

(1200)
položaj 0

(600)
Celice Stranske ploskve Robovi Oglišča
32 120 celica (hi)
{5,3,3}
(4)

(5.5.5)
120 720 1200 600
33 rektificirana 120 celica (rahi)
t1{5,3,3}
(3)

(3.5.3.5)
(2)

(3.3.3)
720 3120 3600 1200
36 prisekana 120 celica (thi)
t0,1{5,3,3}
(3)

(3.10.10)
(1)

(3.3.3)
720 3120 4800 2400
37 kantelirana 120 celica (srahi)
t0,2{5,3,3}
(1)

(3.4.5.4)
(2)

(3.4.4)
(1)

(3.3.3.3)
1920 9120 10800 3600
38 runcinirana 120 celica
(tudi runcinirana 600 celica) (sidpixhi)

t0,3{5,3,3}
(1)

(5.5.5)
(3)

(4.4.5)
(3)

(3.4.4)
(1)

(3.3.3)
2640 7440 7200 2400
39 dvojno prisekana 120 celica
(tudi dvojno prisekana 600 celica) (xhi)

t1,2{5,3,3}
(2)

(5.6.6)
(2)

(3.6.6)
720 4320 7200 3600
42 kantiprisekana 120 celica (grahi)
t0,1,2{5,3,3}
(2)

(4.6.10)
(1)

(3.4.4)
(1)

(3.6.6)
1920 9120 14400 7200
43 runciprisekana 120 celica (prix)
t0,1,3{5,3,3}
(1)

(3.10.10)
(2)

(4.4.10)
(1)

(3.4.4)
(1)

(3.4.3.4)
2640 13440 18000 7200
46 omniprisekana 120 celica
(tudi omniprisekana 600 celica) (gidpixhi)

t0,1,2,3{5,3,3}
(1)

(4.6.10)
(1)

(4.4.10)
(1)
<>(4.4.6)
(1)

(4.6.6)
2640 17040 28800 14400

Prisekanja 600 celice

[uredi | uredi kodo]
# Johnsonovo ime
(okrajšava na Bowersov način)
slika
oglišč
Coxeter-Dinkinov
in Schläflijevi
simboli
Število celic po položaju Število elementov
položaj 3

(120)
položaj 2

(720)
položaj 1

(1200)
položaj 0

(600)
Celice Stranske ploskve Robovi Oglišča
35 600 celica (ex)
{3,3,5}
(20)

(3.3.3)
600 1200 720 120
34 rektificirana 600 celica (rox)
t1{3,3,5}
(2)

(3.3.3.3.3)
(5)

(3.3.3.3)
720 3600 3600 720
41 prisekana 600 celica (tex)
t0,1{3,3,5}
(1)

(3.3.3.3.3)
(5)

(3.6.6)
720 3600 4320 1440
40 kantelirana 600 celica (srix)
t0,2{3,3,5}
(1)

(3.5.3.5)
(2)

(4.4.5)
(1)

(3.4.3.4)
1440 8640 10800 3600
[38] runcinirana 600 celica
(tudi runcinirana 120 celica) (sidpixhi)

t0,3{3,3,5}
(1)

(5.5.5)
(3)

(4.4.5)
(3)

(3.4.4)
(1)

(3.3.3)
2640 7440 7200 2400
[39] dvojno prisekana 600 celica
(tudi dvojno prisekana 120 celica) (xhi)

t1,2{3,3,5}
(2)

(5.6.6)
(2)

(3.6.6)
720 4320 7200 3600
45 kantiprisekana 600 celica (grix)
t0,1,2{3,3,5}
(1)

(5.6.6)
(1)

(4.4.5)
(2)

(4.6.6)
1440 8640 14400 7200
44 runciprisekana 600 celica (prahi)
t0,1,3{3,3,5}
(1)

(3.4.5.4)
(1)

(4.4.5)
(2)

(4.4.6)
(1)

(3.6.6)
2640 13440 18000 7200
[46] omniprisekana 600 celica
(tudi omniprisekana 120 celica) (gidpixhi)

t0,1,2,3{3,3,5}
(1)

(4.6.10)
(1)

(4.4.10)
(1)

(4.4.6)
(1)

(4.6.6)
2640 17040 28800 14400

Grafi

[uredi | uredi kodo]
# Johnsonovo ime
(okrajšava na Bowersov način)
projekcije na Coxeterjevo ravnino Schleglovi diagrami
F4
[12]
[20] H4
[30]
H3
[10]
A3
[4]
A2
[3]
Dodekaeder
usrediščen
Tetraeder
usrediščen
32 120 celica (hi)
33 rektificirana 120 celica (rahi)
34 rektificirana 600 celica (rox)
35 600 celica (ex)
36 prisekana 120 celica (thi)
37 kantelirana 120 celica (srahi)
38 runcinirana 120 celica
(tudi runcinirana 600 celica) (sidpixhi)
39 dvojno prisekana 120 celica
(tudi dvojno prisekana 600 celica) (xhi)
40 kantelirana 600 celica (srix)
41 prisekana 600 celica (tex)
42 kantiprisekana 120 celica (grahi)
43 runciprisekana 120 celica (prix)
44 runciprisekana 600 celica (prahi)
45 kantiprisekana 600 celica (grix)
46 omniprisekana 120 celica
(tudi omniprisekana 600 celica) (gidpixhi)

Skupina D4

[uredi | uredi kodo]
# Johnsonovo ime (okrajšava na Bowersov način) slika
oglišč
Coxeter-Dinkinov diagram
Število celic po položaju Število elementov
položaj 0

(8)
položaj 1

(24)
položaj 2

(8)
položaj 3

(8)
položaj alt
(96)
3 2 1 0
[12] polteserakt
(isto kot 16 celica) (hex)

t0{31,1,1}

(4)

(3.3.3)
(4)

(3.3.3)
16 32 24 8
[17] prisekani polteserakt
(isto kot prisekana 16 celica) (thex)

t0,1{31,1,1}

(1)

(3.3.3.3)
(2)

(3.6.6)
(2)

(3.6.6)
24 96 120 48
[11] kantelirani polteserakt
(isto kot rektificirani teserakt) (rit)

t0,2{31,1,1}

(1)

(3.3.3)
(1)

(3.3.3)
(3)

(3.4.3.4)
24 88 96 32
[16] kantiprisekani polteserakt
(isto kot dvojno prisekani teserakt) (tah)

t0,1,2{31,1,1}

(1)

(3.6.6)
(1)

(3.6.6)
(2)

(4.6.6)
24 96 96 24
[22] rektificirani polteserakt
(isto kot rektificirana 16 celica)
(isto kot 24 celica) (ico)

t1{31,1,1}

(2)

(3.3.3.3)
(2)

(3.3.3.3)
(2)

(3.3.3.3)
48 240 288 96
[23] runcikantelirani polteserakt
(isto kot kantelirana 16 celica)
(isto kot rektificirana 24 celica) (rico)

t0,2,3{31,1,1}

(1)

(3.4.3.4)
(2)

(4.4.4)
(1)

(3.4.3.4)
(1)

(3.4.3.4)
24 120 192 96
[24] omniprisekani polteserakt
(isto kot kantiprisekana 16 celica)
(isto kot prisekana 24 celica) (tico)

t0,1,2,3{31,1,1}

(1)

(4.6.6)
(1)

(4.4.4)
(1)

(4.6.6)
(1)

(4.6.6)
48 240 384 192
[31] snub polteserakt
(isto kot prirezana 24-celica) (sadi)

s{31,1,1}

(1)

(3.3.3.3.3)
(1)

(3.3.3)
(1)

(3.3.3.3.3)
(1)

(3.3.3.3.3)
(4)

(3.3.3)
144 480 432 96

Grafi

[uredi | uredi kodo]
# Johnsonovo ime (okrajšava na Bowersov način)
Coxeter-Dinkinov diagram
projekcije na Coxeterjevo ravnino Schleglovi diagrami vzporedni
trirazsežni
B4
[8/2]
D4
[6]
D3
[2]
kocka
usrediščena
tetraeder
usrediščen
D4
[6]
[12] polteserakt
(isto kot 16 celica) (hex)

t0{31,1,1}

[17] prisekani polteserakt
(isto kot prisekana 16 celica) (thex)

t0,1{31,1,1}

[11] kantelirani polteserakt
(isto kot rektificirani teserakt) (rit)

t0,2{31,1,1}

[16] kantiprisekani polteserakt
(isto kot dvojno prisekani teserakt) (tah)

t0,1,2{31,1,1}

[22] rektificirani polteserakt
(isto kot rektificirana 16 celica)
(isto kot 24 celica) (ico)

t1{31,1,1}

[23] runcikantelirani polteserakt
(isto kot kantelirana 16 celica)
(isto kot rektificirana 24 celica) (rico)

t0,2,3{31,1,1}

[24] omniprisekani polteserakt
(isto kot kantiprisekana 16 celica)
(isto kot prisekana 24 celica) (tico)

t0,1,2,3{31,1,1}

[31] prirezani polteserakt
(prirezana 24-celica) (sadi)

s{31,1,1}

Koordinate

[uredi | uredi kodo]

Osnovna točka lahko generira koordinate politopa tako, da se vzame vse permutacije koordinat in kombinacij predznakov. Dolžina robov bo tako √2. Nekateri politopi imajo po dve možni točki generiranja. Tem točkam lahko dodamo predpono parne, kar naj kaže, da štejemo samo permutacije s parnim predznakom.

# Osnovna točka Johnsonovo in Bowersovo ime Coxeter-Dinkinov diagram Sorodni B4
Coxeter-Dinkinov diagram
Sorodni F4
Coxeter-Dinkinov diagram
[12] (0,0,0,2) 16 celica
[22] (0,0,2,2) rektificirana 16 celica
[17] (0,0,2,4) prisekana 16 celica
[11] (0,2,2,2) kantelirana 16 celica
[23] (0,2,2,4) kantelirana 16 celica
[16] (0,2,4,4) dvojno prisekana 16 celica
[24] (0,2,4,6) kantiprisekana 16 celica
[31] (0,1,φ,φ+1)/√2 prirezana 24-celica
[12] parna (1,1,1,1) polteserakt
(16 celica)
[11] parna (1,1,1,3) kantelirani polteserakt
(kantelirana 16 celica)
[17] parna (1,1,3,3) prisekan polteserakt
(prisekana 16 celica)
[16] parna (1,3,3,3) kantiprisekan polteserakt
(kantiprisekana 16 celica)

Velika antiprizma

[uredi | uredi kodo]

Obstaja eden newythoffianov uniformni konveksni polihoron, ki je znan kot velika antiprizma. Ta je sestavljena iz 20 petstranih antiprizem. Te tvorijo dva pravokotna obroča, ki sta povezana s 300 tetraedri. Ta je analogna trirazsežni antiprizmam, ki so sestavljene iz dveh vzporednih mnogokotnikov, povezanih s pasom trikotnikov. V nasprotju z njimi velika antiprizma ne spada v neskončno skupino uniformnih politopov. Njihovo simetrijsko število je 400 (ionsko zmanjšana Coxeterjeva grupa).

# Johnsonovo ime (okrajšava na Bowersov način) Slika Slika
oglišč
Coxeter-Dinkinov diagram
in Schläflijevi
simboli
celice po vrsti Število elementov
Celice Stranske ploskve Robovi Oglišča
47 velika antiprizma (gap) ni simbola 300 (3.3.3) 20 (3.3.3.5) 320 20 {5}
700 {3}
500 100

Prizmatični uniformni polihoroni

[uredi | uredi kodo]

Prizmatični politop je kartezični produkt dveh politopov z nižjo razsežnostjo. Znani primeri so trirazsežne prizme, ki so produkt mnogokotnika in daljice. Prizmatične uniformne polihorone sestavljata dve neskončni skupini:

  • poliederske prizme: produkt daljice in uniformnega poliedra. Ta skupina je neskončna, ker vsebuje trirazsežne prizme in antiprizme.
  • duoprizme: produkt dveh mnogokotnikov.

Konveksne poliederske prizme

[uredi | uredi kodo]

Najbolj razumljiva družina prizmatičnih polihoronov so poliederske prizmeki so produkt poliedra z daljico. Celice takšnega polihorona sta dva identična uniformna poliedra, ki ležita v vzporednih ravninah (imenujemo jih osnovne celice) povezuje ju plast prizem (to so stranske celice). Ta družina vključuje prizme 75 neprizmatičnih uniformnih poliedrov.

Znanih je 18 konveksnih poliederskih prizem, ki jih naredimo iz 5 platonskih teles in 13 arhimedskih teles ter neskončno družino trirazsežnih prizem in antiprizem. Simetrijsko število poliedrskih prizem je dvakrat večje kot za osnovne poliedre.

Tetraederske prizme: A3 × A1

[uredi | uredi kodo]
# Johnsonovo ime (okrajšava na Bowersov način) Slika Coxeter-Dinkinov diagram
in Schläflijevi simboli
Celice po vrsti Število elementov
Celice Stranske ploskve Robovi Oglišča
48 tetraederska prizma (tepe)
t0{3,3}×{}
2
3.3.3
4
3.4.4
6 8 {3}
6 {4}
16 8
49 prisekana tetraederska prizma (tuttip)
t0,1{3,3}×{}
2
3.6.6
4
3.4.4
4
4.4.6
10 8 {3}
18 {4}
8 {6}
48 24
[51] rektificirana tetraederska prizma
(isto kot oktaederska prizma) (ope)

t1{3,3}×{}
2
3.3.3.3
4
3.4.4
6 16 {3}
12 {4}
30 12
[50] kantelirana tetraederska prizma
(isto kot kubootaederska prizma) (cope)

t0,2{3,3}×{}
2
3.4.3.4
8
3.4.4
6
4.4.4
16 16 {3}
36 {4}
60 24
[54] kantiprisekana tetraedrska prizma
(isto kot prisekana oktaederska prizma) (tope)

t0,1,2{3,3}×{}
2
4.6.6
8
6.4.4
6
4.4.4
16 48 {4}
16 {6}
96 48
[59] Prirezana tetraederska prizma
(isto kot ikozaederska prizma) (ipe)

s{3,3}×{}
2
3.3.3.3.3
20
3.4.4
22 40 {3}
30 {4}
72 24

Oktaedrske prizme: BC3 × A1

[uredi | uredi kodo]
# Johnsonovo ime (okrajšava na Bowersov način) Slika Coxeter-Dinkinov diagram

in Schläflijevi simboli
Celice po vrsti število elementov
Celice Stranske ploskve Robovi Oglišča
[10] kubična prizma
(isto kot teserakt)
(isto kot 4-4 duoprizma) (tes)

t0{4,3}×{}
2
4.4.4
6
4.4.4
8 24 {4} 32 16
50 kubooktaedrska prizma
(isto kot kantelirana tetraedrska prizma) (cope)

t1{4,3}×{}
2
3.4.3.4
8
3.4.4
6
4.4.4
16 16 {3}
36 {4}
60 24
51 oktaederska prizma
(isto kot rektificirana tetraedrska prizma)
(isto kot tristrana antiprizmatična prizma) (ope)

t2{4,3}×{}
2
3.3.3.3
8
3.4.4
10 16 {3}
12 {4}
30 12
52 rombikubooktaederska prizma (sircope)
t0,2{4,3}×{}
2
3.4.4.4
8
3.4.4
18
4.4.4
28 16 {3}
84 {4}
120 96
53 prisekana kubična prizma (ticcup)
t0,1{4,3}×{}
2
3.8.8
8
3.4.4
6
4.4.8
16 16 {3}
36 {4}
12 {8}
96 48
54 prisekana oktaederska prizma
(isto kot kantiprisekana tetraederska prizma) (tope)

t1,2{4,3}×{}
2
4.6.6
6
4.4.4
8
4.4.6
16 48 {4}
16 {6}
96 48
55 prisekana kubooktaederska prizma (gircope)
t0,1,2{4,3}×{}
2
4.6.8
12 <4.4.4 8
4.4.6
6
4.4.8
28 96 {4}
16 {6}<>12 {8}
192 96
56 prirezana kubična prizma (sniccup)
s{4,3}×{}
2
3.3.3.3.4
32
3.4.4
6
4.4.4
40 64 {3}
72 {4}
144 48

Ikozaedrske prizme: H3 × A1

[uredi | uredi kodo]
# Johnsonovo ime (okrajšava na Bowersov način) Slika Coxeter-Dinkinov diagram
in Schläflijevi
simboli
Celice po vrsti Število elementov
Celice Stranske ploskve Robovi Oglišča
57 dodekaederska prizma (dope)
t0{5,3}×{}
2
5.5.5
12
4.4.5
14 30 {4}
24 {5}
80 40
58 ikozaederska prizma (iddip)
t1{5,3}×{}
2
3.5.3.5
20
3.4.4
12
4.4.5
34 40 {3}
60 {4}
24 {5}
150 60
59 ikozaederska prizma
(isto kot prirezana tetraedrska prizma) (ipe)

t2{5,3}×{}
2
3.3.3.3.3
20
3.4.4
22 40 {3}
30 {4}
72 24
60 prisekana dodekaederska prizma (tiddip)
t0,1{5,3}×{}
2
3.10.10
20
3.4.4
12
4.4.5
34 40 {3}
90 {4}
24 {10}
240 120
61 rombiikozidodekaederska prizma (sriddip)
t0,2{5,3}×{}
2
3.4.5.4
20
3.4.4
30
4.4.4
12
4.4.5
64 40 {3}
180 {4}
24 {5}
300 120
62 prisekana ikozaederska prizma (tipe)
t1,2{5,3}×{}
2
5.6.6
12
4.4.5
20
4.4.6
34 90 {4}
24 {5}
40 {6}
240 120
63 prisekana ikozaedrska prizma (griddip)
t0,1,2{5,3}×{}
2
4.6.4.10
30
4.4.4
20
4.4.6
12
4.4.10
64 240 {4}
40 {6}
24 {5}
480 240
64 prirezana dodekaedrska prizma (sniddip)
s{5,3}×{}
2
3.3.3.3.5
80
3.4.4
12
4.4.5
94 240 {4}
40 {6}
24 {10}
360 120

Duoprizme: [p] × [q]

[uredi | uredi kodo]
Najenostavnejša od duoprizem je 3,3-duoprizmam. V Schleglovem diagramu je na tej sliki prikazana ena izmed šestih celic tristrane prizme.

Druga skupina je neskončna družina uniformnih duoprizem, ki so produkt dveh pravilnih mnogokotnikov.

Njihov Coxeter-Dinkinov diagram ima obliko

Ta družina se prekriva s prvim ko je eden izmed "faktorjev" mnogokotnikov kvadrat. Produkt je enak hiperprizmi katere osnovnica je trirazsežna prizma. Simetrijsko število duoprizme katere faktorja sta p-kotnik in q-kotnik (to da "p,q-duoprizmo") je 4pq kadar je pq; v primeru, da sta oba faktorja p-kotnika. Simetrijsko število je 8p2. Tudi teserakt lahko obravnavamo kot duoprizmo 4,4.

Elementi p,q-duoprizme (p ≥ 3, q ≥ 3) so:

  • Celice: p q-stranskih prizem, q p-stranskih prizem
  • Stranske ploskve: pq kvadrati, p q-kotniki, q p-kotniki
  • Robovi: 2pq
  • Oglišča: pq
Ime Coxeterjev graf Celice
3-3 duoprizma (triddip) 6 tristranih prizem
3-4 duoprizma (tisdip) 3 kocke, 4 tristrane prizme
4-4 duoprizma (tes) 8 kock (isto kot teserakt)
3-5 duopriprizma (trapedip) 3 petstranih prizem, 5 tristrane prizme
4-5 duoprizma (squipdip) 4 petstranih prizem, 5 kocke
5-5 duoprizma (pedip) 10 petstranih prizem
3-6 duoprizma (thiddip) 3 šeststrane prizme, 6 tristranih prizem
4-6 duoprizma (shiddip) 4 šeststranih prizem, 6 kock
5-6 duoprizma (phiddip) 5 šeststranih prizem, 6 petstranih prizem
6-6 duoprizma (hiddip) 12 šeststranih prizem

Mnogokotne prizmatične prizme: [p] × [ ] × [ ]

[uredi | uredi kodo]

Neskončna množica uniformnih prizmatičnih prizem se prekriva z 4-p duoprizmami: (p≥3) - - p cubes and 4 p-gonal prisms – (vse so enake kot 4-p duoprizme)

Ime Coxeterjev graf Celice
tristrana prizmatična prizma (tisdip) 3 kocke in 4 tristrane prizme
(isto kot 3-4 duoprizma)
Square prismatic prism (tes) 4 kocke in 4 kocke
(isto kot 4-4 duoprizma in isto kot teserakt)
petstrana prizmatična prizma (squipdip) 5 kock in 4 petstranih prizem
(isto kot 4-5 duoprizma)
šeststrana prizmatična prizma (shiddip) 6 kock in 4 šeststranih prizem
(isto kot 4-6 duoprizma)
sedemstrana prizmatična prizma (shedip) 7 kock in 4 sedemstrane prizme
(isto kot 4-7 duoprizma)
osemstrana prizmatična prizma (sodip) 8 kock in 4 osemstranih prizem
(isto kot 4-8 duoprizma)

Neskončna množica uniformih antiprizmatičnih prizem se lahko konstruira s pomočjo dveh vzporednih uniformnih antiprizem: (p≥3) - - 2 p-strane antiprizme povezane z 2 p-stranima prizmama in 2p tristranih prizem.

Ime Coxeterjev graf Celice Slika
tristrana antiprizmatična prizma (ope) 2 oktaedra povezana z 8 tristranimi prizmami (isto kot oktaederska prizma)
kvadratna antiprizmatična prizma (squapip) 2 kvadratni antiprizmi povezani z 2 kockama in 8 tristranimi prizmami
petstrana antiprizmatična prizma (pappip) 2 petstrani antiprizmi povezani z 2 petstranima prizmama in 10 tristranimi prizmami
šeststrana antiprizmatična prizma (happip) 2 šeststrani antiprizmi povezani z 2 šeststranima prizmama in 12 tristranimi prizmami
sedemstrana antiprizmatična prizma (heappip) 2 sedemstrani antiprizmi povezani z 2 sedemstranima prizmama in 14 tristranih prizem
osemstrana antiprizmatična prizma (oappip) 2 osemstrani antiprizmi povezani z 2 osemstranima prizmama in 16 tristranimi prizmami

P-strana antiprizmatična prizma ima 4p trikotnike, 4p kvadratov in 4 p-kotne stranske ploskve. Ima 10p robov in 4p oglišč.

Neuniformne alternacije

[uredi | uredi kodo]

Znanih je veliko alternacij uniformnega polihorona, ki se jih lahko obravnava kot uniformne, ker vsebujejo preveč parametrov, ki jim morajo zadoščati.

Za prirezana telesa niso uniforma za razliko od njihovih trirazsežnih analogov. samo prirezana 24-celica je uniformna, čeprav bi bilo boljše, če bi jo imenovali polprirezana 24-celica ali prirezani polteserakt, ker je polni snub družine D4 s polteseraktom kot alterniranim teseraktom.

Poliederske prizme lahko alterniramo v , toda ne dajo uniformnih rešitev.

  1. prirezana tetraedrska antiprizma, s{3,3,2} , 2 ikozaedra povezana s 6 tetraedri in 8 oktaedri s 24 tetraedri v izmenjujočih se luknjah.
  2. prirezana kubična antiprizma, s{4,3,2} , 2 prirezani kocki povezani z 12 tetraedri, 6 kvadratnimi antiprizmami in 8 oktaedri ter z 48 tetraedri v izmenjujočih se luknjah.
  3. prirezana dodekaedrska antiprizma, s{5,3,2} , 2 prirezana dodekaedra sta povezana s 30 tetraedri, 12 petstranih antiprizem in 20 oktaedrov s 120 tetraedri v izmenjajočih se luknjah.

Duoprizme , t0,1,2,3{p,2,q} lahko alterniramo v , s{p,2,q}, ki se imenujejo duoantiprizme, ki v splošnem ne morajo postati uniformne. Edina konveksna uniformna rešitev je trivialni primer of p=q=2, which is a lower symmetry construction of the tesseract , t0,1,2,3{2,2,2}, ki je konstrukcija teserakta z alternacijo 16 celice, , s{2,2,2}.

Geometrijska izpeljava za 46 neprizmatičnih uniformnih polihoronov

[uredi | uredi kodo]
Pregled operacije prisekovanja.

46 Wythoffovih polihoronov vključuje šest konveksni pravilni polihoron. Ostalih 40 se dobi iz pravilnih polihoronov z operacijo, ki ohranja večino njihovih simetrij. Tako jih lahko razvrstimo glede na njihove simetrijske grupe, ki jih imajo.

Geometrijske operacije, ki omogočajo dobiti 40 uniformnih polihoronov iz pravilnih polihoronov, je operacija prisekanja. Polihoron lahko prisekamona robovih, ogliščih ali stranskih ploskvah. To vodi k dodajanju celic, ki odgovarjajo tem elementom. To je prikazano tudi v spodnji preglednici.

Coxeter-Dinkinov diagram kaže štiri zrcala Wythoffovega kalejdoskopa kot vozle. Robovi med vozli so označeni s celimi števili in st tem kažejo kot med zrcali (π/n radianov ali 180/n stopinj). Obkroženi vozli kažejo katera zrcala so za določeno obliko aktivna. Zrcalo je aktivno glede na oglišče, ki ne leži na njem.

Operacija Schläflijev
simbol
Coxeter-Dinkinov diagram Opis
Starševsko telo t0{p,q,r} Prvotna pravilna oblika {p,q,r}
Rektifikacija t1{p,q,r} Operacija prisekanja se izvaja tako dolgo, da prvotni robovi degenerirajo v točko.
Dvojna rektifikacija t2{p,q,r} Stranska ploskev se popolnoma priseka do točke. Isto kot rektificirani dual.
Trojna rektifikacija
(dual)
t3{p,q,r} Celice se prisekajo do točke. Pravilno dualno telo {r,q,p}
Prisekanost t0,1{p,q,r} Vsako oglišče se odreže tako, da sredina prvotnega roba ostane. Kjer je oglišče se pojavi nova celica, ki je starševska slika oglišč. Tudi vsaka prvotna celica se enako prireže.
Dvojno prisekanje t1,2{p,q,r} Prisekanje med rektificirano obliko in dualom rektificirane oblike.
Trojno prisekanje t2,3{p,q,r} Prisekani dual {r,q,p}.
Kantelacija t0,2{p,q,r} Prisekanje uporabljeno za robove in oglišča. Določa razvojno stopnjo med pravilno in dualno rektificirano obliko.
Dvojna kantelacija t1,3{p,q,r} Kantelirani dual {r,q,p}.
Runcinacija
(ali razširitev)
t0,3{p,q,r} Prisekanje uporabljeno na celicah, stranskih ploskvah in robovih. Določa razvojno stopnjo med pravilno obliko in dualom.
Kantiprisekanje t0,1,2{p,q,r} Skupna uporaba operacij kantelacija in prisekanje.
Dvojno kantiprisekanje t1,2,3{p,q,r} Kantiprisekani dual {r,q,p}.
Runciprisekanje t0,1,3{p,q,r} Uporaba dveh operacij runcinacije in prisekanja .
Runcikatelacija t0,1,3{p,q,r} Runciprisekani dual {r,q,p}.
Omniprisekanost
(ali bolj določeno runcikantiprisekanost)
t0,1,2,3{p,q,r} Uporaba vseh treh operacij.
prirezanost s{p,q,r} Alternacija omniprisekane oblike (obroči so zamenjani z luknjami).

Sklici

[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave

[uredi | uredi kodo]