Prisekan oktaeder

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Prisekan oktaeder
Truncatedoctahedron.jpg
Vrsta arhimedsko telo
uniformni polieder
Elementi F = 14, E = 36,
V =24 ( \chi \, = 2)
Stranske ploskve na stranico 6{4} + 8{6}
Schläflijev simbol t0,1{3,4}
t0,1,2{3,3}
Wythoffov simbol 2 4|3
2 3 2|
Coxeter-Dynkinov diagram CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Simetrija Oh, BC3, [4,3],(*432), (432), red 48
Th, [3,3] in (*332), red 24
Vrtilna grupa O, [4,3]+,
(922), red 18
Diederski kot 4-6:cos(-1/sqrt(3)) = 125º 15′ 51″
6-6:cos(-1/3)=109º28′ 16″
Sklici U08, C20, W7
Lastnosti polpravilni konveksni zonoeder permutaeder
Truncated octahedron.png
obarvane stranske ploskve
Truncated octahedron vertfig.png
4.6.6
(slika oglišč)
Tetrakishexahedron.jpg tetrakisna kocka
(dualni polieder)
Truncated Octahedron Net.svg
mreža telesa

Prisekan oktaeder je arhimedsko telo. Ima 14 stranskih ploskev, od tega je osem pravilnih šestkotnikov in šest kvadratov. Telo ima 36 robov in 24 oglišč. Vsaka izmed stranskih ploskev ima točkovno simetrijo in je tako prisekan oktaeder ali zonoeder.

Če ima prvotni prisekan oktaeder enotski rob (rob z dolžino 1), ima njegova dualna tetrakisna kocka rob z dolžino \tfrac{9}{8}\scriptstyle {\sqrt{2}} in \tfrac{3}{2}\scriptstyle{\sqrt{2}}.

Konstrukcija[uredi | uredi kodo]

Truncated Octahedron with Construction.svg   Square Pyramid.svg

Prisekan oktaeder se lahko konstruira iz pravilnega oktaedra, ki ima dolžino stranice 3a, tako, da odstranimo šest kvadratnih piramid s pravimi koti, po eno za vsako oglišče. Te piramide imajo dolžino stranice a in stransko dolžino e pri a. Tako tvorijo enakostranične trikotnike. Ploščina osnovnice je a2. Ta oblika je podobna polovici oktaedra Johnsonovega telesa J1.

Iz lastnosti kvadratne piramide lahko najdemo poševno višino s in višino piramide h:

h = \sqrt{e^2-\frac{1}{2}a^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}a
s = \sqrt{h^2 + \frac{1}{4}a^2} = \sqrt{\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{4}a^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a

Prostornina piramide je dana z V:

V = \frac{1}{3}a^2h = \frac{\sqrt{2}}{6}a^3.

Ker smo odstranili šest piramid smo s tem izgubili prostornino \scriptstyle {\sqrt{2}a^3}.

Ortogonalne projekcije[uredi | uredi kodo]

Prisekani oktaeder ima pet posebnih pravokotnih projekcij, ki so usrediščene na oglišče, dve vrsti robov in dve vrsti stranskih ploskev na šestkotnik in kvadrat. Zadnja dva odgovarjata B2 in A2 Coxeterjevi ravnini.

Ortogonalne projekcije
Usrediščeno po Oglišče Rob
4-6
Rob
6-6
Stranska ploskev
Kvadrat
Stranska ploskev
Šestkotnik
Slika Cube t12 v.png Cube t12 e46.png Cube t12 e66.png 3-cube t12 B2.svg 3-cube t12.svg
Projektivna
simetrija
[2] [2] [2] [4] [6]

Koordinate in permutoeder[uredi | uredi kodo]

Vse permutacije vrednosti (0, ±1, ±2) so kartezične koordinate oglišč prisekanega oktaedra z dolžino roba a = √ 2, ki leži v izhodišču. Oglišča so tako vogali 12 pravokotnikov, ki imajo daljše robove vzporedne s koordinatnimi osmi.

Vektorji na robovih imajo kartezične koordinate (0, ±1,±1) in njihove permutacije. Pravokotnice na stranske ploskve za šest kvadratnih stranskih ploskev so (0,0, ±1), (0, ±1, 0) in (±1,0,0). Pravokotnice (normale) na stranske ploskve za 8 šestkotnih stranskih ploskev je (±1/ 3√3, ±1/ 3√3,±1/ 3√3). Skalarni produkt dveh normal na stranske ploskve je enak kosinusu diederskega kota med sosednjima stranskima ploskvama. To pa je -1/3 ali -1/3√3 Diederski kot je približno 1,910633 radianov (to je109,471 °) za robove med dvema šestkotnikoma in 2,186276 radianov (to je 125,263 °)

Prisekani oktaeder lahko prikažemo tudi z mnogo bolj simetričnimi koordinatami v štirih razsežnostih. Vse permutacije vrednosti (1, 2, 3, 4) tvorijo oglišča prisekanega oktaedra v tri razsežnem prostoru x + y + z + w = 10. To pa pomeni, da je prisekani oktaeder permutoeder reda 4.

Permutohedron.svg

Prostornina in površina[uredi | uredi kodo]

Površina (P) in prostornina (V) prisekanega oktaedra, ki ima rob z dolžino a sta

P = (6+12\sqrt{3}) a^2 \approx 26,7846097a^2
V = 8\sqrt{2} a^3 \approx 11,3137085a^3.

Uniformno barvanje[uredi | uredi kodo]

Obstojata dve uniformni barvanji, eno s tetraedersko, drugo pa z oktaedersko simetrijo:

oktaederska simetrija tetraederska simetrija
(omniprisekani tetraeder)
Truncated Octahedron 122 Colouring.svg
barvanje 122
Wythoffov simbol: 2 4 | 3
Truncated Octahedron 123 Colouring.svg
barvanje 123
Wythoffov simbol: 3 3 2 |

Sorodni poliedri[uredi | uredi kodo]

Družina uniformnih oktaederskih poliedrov
{4,3} t0,1{4,3} t1{4,3} t0,1{3,4} {3,4} t0,2{4,3} t0,1,2{4,3} {4,3} h0{4,3} h1,2{4,3}
Uniform polyhedron-43-t0.svg Uniform polyhedron-43-t01.svg Uniform polyhedron-43-t1.svg Uniform polyhedron-43-t12.svg Uniform polyhedron-43-t2.svg Uniform polyhedron-43-t02.png Uniform polyhedron-43-t012.png Uniform polyhedron-43-s012.png Uniform polyhedron-33-t2.png Uniform polyhedron-43-h01.svg
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
Družina uniformnih tetraederskih poliedrov
{3,3} t0,1{3,3} t1{3,3} t1,2{3,3} t2{3,3} t0,2{3,3} t0,1,2{3,3} s{3,3}
Uniform polyhedron-33-t0.png Uniform polyhedron-33-t01.png Uniform polyhedron-33-t1.png Uniform polyhedron-33-t12.png Uniform polyhedron-33-t2.png Uniform polyhedron-33-t02.png Uniform polyhedron-33-t012.png Uniform polyhedron-33-s012.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
Simetrija Sferna Ravninska Hiperbolična
*232
[2,3]
D3h
*332
[3,3]
Td
*432
[4,3]
Oh
*532
[5,3]
Ih
*632
[6,3]
P6m
*732
[7,3]
 
*832
[8,3]
 
*∞32
[∞,3]
 
Red 12 24 48 120
Omniprisekana
oblika
Spherical truncated trigonal prism.png
4.6.4
Uniform tiling 332-t012.png
4.6.6
Uniform tiling 432-t012.png
4.6.8
Uniform tiling 532-t012.png
4.6.10
Uniform polyhedron-63-t012.png
4.6.12
Uniform tiling 73-t012.png
4.6.14
Uniform tiling 83-t012.png
4.6.16
H2 tiling 23i-7.png
4.6.∞
Coxeter
Schläfli
CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2{2,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2{3,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2{4,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2{5,3}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2{6,3}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2{7,3}
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2{8,3}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2{∞,3}
Omniprisekani
duali
Hexagonale bipiramide.png
V4.6.4
Tetrakishexahedron.jpg
V4.6.6
Disdyakisdodecahedron.jpg
V4.6.8
Disdyakistriacontahedron.jpg
V4.6.10
Tiling Dual Semiregular V4-6-12 Bisected Hexagonal.svg
V4.6.12
Order-3 heptakis heptagonal tiling.png
V4.6.14
V4.6.16 V4.6.∞
Coxeter CDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 5.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 6.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 7.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 8.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel infin.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png

Ta polieder se lahko obravnava kot član uniformnih vzorcev z sliko oglišča (4.6.2p) in s Coxeter-Dynkinovim diagramom CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png. Za p< 6 so člani zaporedja omniprisekani poliedri (zonoedri), ki so spodaj prikazani kot sferno tlakovanje. Za p>6 je to tlakovanje hiperbolične ravnine, ki se prične s prisekano trojno sedemkotno tlakovanje.

Simetrija Sferna Ravninska Hiperbolična...
*232
[2,3]
D3h
*332
[3,3]
Td
*432
[4,3]
Oh
*532
[5,3]
Ih
*632
[6,3]
P6m
*732
[7,3]
 
*832
[8,3]...
 
*∞32
[∞,3]
 
Red 12 24 48 120
Prisekane
oblike
Hexagonal dihedron.png
2.6.6
Uniform polyhedron-33-t12.png
3.6.6
Uniform polyhedron-43-t12.png
4.6.6
Uniform polyhedron-53-t12.png
5.6.6
Uniform tiling 63-t12.png
6.6.6
Uniform tiling 73-t12.png
7.6.6
Uniform tiling 83-t12.png
8.6.6
H2 tiling 23i-6.png
3.4.∞.4
Coxeter
Schläfli
CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
t0,1{3,2}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
t0,1{3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
t0,1{3,4}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.png
t0,1{3,5}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.png
t0,1{3,6}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.png
t0,1{3,7}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.png
t0,1{3,8}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.png
t0,1{3,∞}
N-kisne
oblike
Hexagonal hosohedron.png
V2.6.6
Triakistetrahedron.jpg
V3.6.6
Tetrakishexahedron.jpg
V4.6.6
Pentakisdodecahedron.jpg
V5.6.6
Uniform tiling 63-t2.png
V6.6.6
Ord7 triakis triang til.png
V7.6.6
Coxeter CDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 5.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 6.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 7.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 8.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel infin.pngCDel node.png

Teselacije[uredi | uredi kodo]

Prisekani oktaeder obstoja v treh različnih oblikah konveksnih uniformnih satovjih (v teselacijah, ki zapolnjujejo prostor).

Celično tranzitivno dvojno prisekano kubično satovje lahko gledamo tudi kot Voronojevo teselacijo telesno centrirane kubične mreže. Prisekani oktaeder je eden izmed petih trirazsežnih osnovnih paraleloedrov


Dvojno prisekana kubična Kantiprisekana kubična Prisekana alternirana kubična.
Bitruncated Cubic Honeycomb.svg Cantitruncated Cubic Honeycomb.svg Truncated Alternated Cubic Honeycomb.svg

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]