Prisekani oktaeder

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
(Preusmerjeno s strani Prisekan oktaeder)
Skoči na: navigacija, iskanje
Prisekani oktaeder
Truncatedoctahedron.jpg
(animacija)
Vrsta arhimedsko telo
uniformni polieder
Elementi F = 14, E = 36,
V =24 ( = 2)
Stranske ploskve na stranico 6{4} + 8{6}
Schläflijev simbol t0,1{3,4}
t0,1,2{3,3}
Wythoffov simbol 2 4|3
2 3 2|
Coxeter-Dinkinov diagram CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Simetrija Oh, BC3, [4,3],(*432), (432), red 48
Th, [3,3] in (*332), red 24
Vrtilna grupa O, [4,3]+,
(922), red 18
Diedrski kot 4-6:cos(-1/sqrt(3)) = 125º 15′ 51″
6-6:cos(-1/3)=109º28′ 16″
Sklici U08, C20, W7
Značilnosti konveksen
polpravilen
zonoeder
permutaeder
Truncated octahedron.png
obarvane stranske ploskve
Truncated octahedron vertfig.png
4.6.6
(slika oglišč)
Tetrakishexahedron.jpg tetrakisni heksaeder
(dualni polieder)
Truncated Octahedron Net.svg
mreža telesa

Prisekani oktaeder je arhimedsko telo. Ima 14 stranskih ploskev, od tega je osem pravilnih šestkotnikov in šest kvadratov. Telo ima 36 robov in 24 oglišč. Vsaka izmed stranskih ploskev ima točkovno simetrijo in je tako prisekani oktaeder ali zonoeder.

Če ima prvotni prisekani oktaeder enotski rob (rob z dolžino 1), ima njegov dualni tetrakisni heksaeder rob z dolžino in .

Konstrukcija[uredi | uredi kodo]

Truncated Octahedron with Construction.svg   Square Pyramid.svg

Prisekani oktaeder se lahko konstruira iz pravilnega oktaedra, ki ima dolžino stranice 3a, tako, da se odstrani šest kvadratnih piramid s pravimi koti, po eno za vsako oglišče. Te piramide imajo dolžino stranice a in stransko dolžino e pri a. Tako tvorijo enakostranične trikotnike. Ploščina osnovnice je a2. Ta oblika je podobna polovici oktaedra Johnsonovega telesa J1.

Iz značilnosti kvadratne piramide se lahko najde poševno višino s in višino piramide h:

Prostornina piramide je dana z V:

Ker se je odstranilo šest piramid, se s tem izgubi prostornino .

Pravokotne projekcije[uredi | uredi kodo]

Prisekani oktaeder ima pet posebnih pravokotnih projekcij usrediščenih na oglišče, dve vrsti robov in dve vrsti stranskih ploskev (šestkotniki in kvadrati). Zadnji dve odgovarjata Coxeterjevima ravninama B2 in A2.

pravokotne projekcije
usrediščeno na oglišče rob
4-6
rob
6-6
stransko ploskev
kvadrat
stransko ploskev –
šestkotnik
prisekani
oktaeder
Cube t12 v.png Cube t12 e46.png Cube t12 e66.png 3-cube t12 B2.svg 3-cube t12.svg
projektivna
simetrija
[2] [2] [2] [4] [6]
tetrakisni
heksaeder
Dual cube t12 v.png Dual cube t12 e46.png Dual cube t12 e66.png Dual cube t12 B2.png Dual cube t12.png

Kartezične koordinate in permutoeder[uredi | uredi kodo]

Vse permutacije vrednosti (0, ±1, ±2) so kartezične koordinate oglišč prisekanega oktaedra z dolžino roba a = √ 2, ki leži v izhodišču. Oglišča so tako vogali 12 pravokotnikov, ki imajo daljše robove vzporedne s koordinatnimi osmi.

Vektorji na robovih imajo kartezične koordinate (0, ±1,±1) in njihove permutacije. Pravokotnice na stranske ploskve za šest kvadratnih stranskih ploskev so (0,0, ±1), (0, ±1, 0) in (±1,0,0). Pravokotnice na stranske ploskve za 8 šestkotniških stranskih ploskev je (±1/ 3√3, ±1/ 3√3,±1/ 3√3). Skalarni produkt dveh normal na stranske ploskve je enak kosinusu diedrskega kota med sosednjima stranskima ploskvama. To pa je -1/3 ali -1/3√3 Diedrski kot je približno 1,910633 radianov (to je 109,471 °) za robove med dvema šestkotnikoma in 2,186276 radianov (to je 125,263 °)

Prisekani oktaeder se lahko prikaže tudi z mnogo bolj simetričnimi koordinatami v štirih razsežnostih. Vse permutacije vrednosti (1, 2, 3, 4) tvorijo oglišča prisekanega oktaedra v trirazsežnem prostoru x + y + z + w = 10. To pa pomeni, da je prisekani oktaeder permutoeder reda 4.

Permutohedron.svg

Prostornina in površina[uredi | uredi kodo]

Površina P in prostornina V prisekanega oktaedra z dolžino roba a sta:

Uniformno barvanje[uredi | uredi kodo]

Obstajata dve uniformni barvanji, eno s tetraedrsko, drugo pa z oktaedrsko simetrijo:

oktaedrska simetrija tetraedrska simetrija
(omniprisekani tetraeder)
Truncated Octahedron 122 Colouring.svg
barvanje 122
Wythoffov simbol: 2 4 | 3
Truncated Octahedron 123 Colouring.svg
barvanje 123
Wythoffov simbol: 3 3 2 |

Sorodni poliedri[uredi | uredi kodo]

Družina uniformnih oktaederskih poliedrov
{4,3} t0,1{4,3} t1{4,3} t0,1{3,4} {3,4} t0,2{4,3} t0,1,2{4,3} {4,3} h0{4,3} h1,2{4,3}
Uniform polyhedron-43-t0.svg Uniform polyhedron-43-t01.svg Uniform polyhedron-43-t1.svg Uniform polyhedron-43-t12.svg Uniform polyhedron-43-t2.svg Uniform polyhedron-43-t02.png Uniform polyhedron-43-t012.png Uniform polyhedron-43-s012.png Uniform polyhedron-33-t2.png Uniform polyhedron-43-h01.svg
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
Družina uniformnih tetraedrskih poliedrov
{3,3} t0,1{3,3} t1{3,3} t1,2{3,3} t2{3,3} t0,2{3,3} t0,1,2{3,3} s{3,3}
Uniform polyhedron-33-t0.png Uniform polyhedron-33-t01.png Uniform polyhedron-33-t1.png Uniform polyhedron-33-t12.png Uniform polyhedron-33-t2.png Uniform polyhedron-33-t02.png Uniform polyhedron-33-t012.png Uniform polyhedron-33-s012.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
simetrija sferna ravninska hiperbolična
*232
[2,3]
D3h
*332
[3,3]
Td
*432
[4,3]
Oh
*532
[5,3]
Ih
*632
[6,3]
P6m
*732
[7,3]
 
*832
[8,3]
 
*∞32
[∞,3]
 
red 12 24 48 120
omniprisekana
oblika
Spherical truncated trigonal prism.png
4.6.4
Uniform tiling 332-t012.png
4.6.6
Uniform tiling 432-t012.png
4.6.8
Uniform tiling 532-t012.png
4.6.10
Uniform polyhedron-63-t012.png
4.6.12
Uniform tiling 73-t012.png
4.6.14
Uniform tiling 83-t012.png
4.6.16
H2 tiling 23i-7.png
4.6.∞
Coxeter
Schläfli
CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2{2,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2{3,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2{4,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2{5,3}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2{6,3}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2{7,3}
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2{8,3}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2{∞,3}
omniprisekani
duali
Hexagonale bipiramide.png
V4.6.4
Tetrakishexahedron.jpg
V4.6.6
Disdyakisdodecahedron.jpg
V4.6.8
Disdyakistriacontahedron.jpg
V4.6.10
Tiling Dual Semiregular V4-6-12 Bisected Hexagonal.svg
V4.6.12
Order-3 heptakis heptagonal tiling.png
V4.6.14
V4.6.16 V4.6.∞
Coxeter CDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 5.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 6.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 7.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 8.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel infin.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png

Ta polieder se lahko obravnava kot član uniformnih vzorcev s sliko oglišča (4.6.2p) in s Coxeter-Dinkinovim diagramom CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png. Za p < 6 so člani zaporedja omniprisekani poliedri (zonoedri), ki so spodaj prikazani kot sferno tlakovanje. Za p > 6 je to tlakovanje hiperbolične ravnine, ki se prične s prisekano trojno sedemkotno tlakovanje.

simetrija sferna ravninska hiperbolična...
*232
[2,3]
D3h
*332
[3,3]
Td
*432
[4,3]
Oh
*532
[5,3]
Ih
*632
[6,3]
P6m
*732
[7,3]
 
*832
[8,3]...
 
*∞32
[∞,3]
 
red 12 24 48 120
prisekane
oblike
Hexagonal dihedron.png
2.6.6
Uniform polyhedron-33-t12.png
3.6.6
Uniform polyhedron-43-t12.png
4.6.6
Uniform polyhedron-53-t12.png
5.6.6
Uniform tiling 63-t12.png
6.6.6
Uniform tiling 73-t12.png
7.6.6
Uniform tiling 83-t12.png
8.6.6
H2 tiling 23i-6.png
3.4.∞.4
Coxeter
Schläfli
CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
t0,1{3,2}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
t0,1{3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
t0,1{3,4}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.png
t0,1{3,5}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.png
t0,1{3,6}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.png
t0,1{3,7}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.png
t0,1{3,8}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.png
t0,1{3,∞}
N-kisne
oblike
Hexagonal hosohedron.png
V2.6.6
Triakistetrahedron.jpg
V3.6.6
Tetrakishexahedron.jpg
V4.6.6
Pentakisdodecahedron.jpg
V5.6.6
Uniform tiling 63-t2.png
V6.6.6
Ord7 triakis triang til.png
V7.6.6
Coxeter CDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 5.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 6.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 7.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 8.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel infin.pngCDel node.png

Teselacije[uredi | uredi kodo]

Prisekani oktaeder obstaja v treh različnih oblikah konveksnih uniformnih satovij (v teselacijah, ki zapolnjujejo prostor).

Celično pehodno dvojno prisekano kubično satovje se lahko gleda tudi kot Voronojevo teselacijo telesno centrirane kubične mreže. Prisekani oktaeder je eden izmed petih trirazsežnih osnovnih paraleloedrov

dvojno prisekana kubična kantiprisekana kubična prisekana alternirana kubična.
Bitruncated Cubic Honeycomb.svg Cantitruncated Cubic Honeycomb.svg Truncated Alternated Cubic Honeycomb.svg

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]