Kepler-Poinsotov polieder

Kepler-Poinsotov polieder (tudi Kepler-Poinsotovo telo) je v geometriji katerikoli od štirih pravilnih steliranih poliedrov. Dobimo jih z steliranjem pravilnih konveksnih dodekaedrov in ikozaedrov. Od teh se razlikujejo v tem, da imajo pentagramske stranske ploskve ali slike oglišč.

Štirje Kepler-Poinsotovi poliedri so prikazani na zgornji sliki. Vsakega izmed njih lahko identificiramo s Schläflijevim simbolom v obliki {p, q} in njegovim imenom.

Značilnosti

Eulerjeva karakteristika

Kepler-Poinsotovi poliedri prekrivajo sfero več kot enkrat, tako da središča stranskih ploskev delujejo kot navite točke v sliki, ki imajo petkotne stranske ploskve in oglišča v drugih. Zaradi tega niso nujno topološko enakovredne sferi kot so platonska telesa. Odnos:

$\chi =V-E+F=2\!\,$

vedno ne velja. Po Schläfliju velja, da morajo imeti vsi poliedri χ = 2. On je tudi zavračal zamisel o tem, da sta mali stelirani dodekaeder in veliki dodekaeder prava poliedra, kar pa nikoli ni bilo splošno priznano.

Popravljeno obliko Eulerjeve karakteristike z uporabo gostote D pripadajočih slik oglišč d_v in stranskih ploskev d_f je podal angleški matematik Arthur Cayley (1821 – 1895). Izraz velja za konveksne poliedre (kjer so faktorji popravkov vsi enaki 1) in za Kepler-Poinsotove poliedre:

$d_{v}V-E+d_{f}F=2D\!\,.$

Dualnost

Kepler-Poinsotovi poliedri nastopajo v dualnih parih.

• mali stelirani dodekaeder in veliki dodekaeder.
• veliki stelirani dodekaeder in veliki ikozaeder.

Pregled

ime	slika	sferno tlakovanje	diagram stelacije	Schläflijev {p,q} in Coxeter-Dinkinov diagram	stranske ploskve {p}	robovi	oglišča {q} slika oglišč	χ	gostota	simetrija	dualni
mali stelirani dodekaeder				{5/2,5}	12 {5/2}	30	12 {5}	-6	3	Ih	veliki dodekaeder
veliki dodekaeder				{5,5/2}	12 {5}	30	12 {5/2}	-6	3	Ih	mali stelirani dodekaeder
veliki stelirani dodekaeder				{5/2,3}	12 {5/2}	30	20 {3}	2	7	Ih	veliki ikozaeder
veliki ikozaeder				{3,5/2}	20 {3}	30	12 {5/2}	2	7	Ih	veliki stelirani dodekaeder

Odnosi med pravilnimi poliedri

Naslednji imajo iste ureditve oglišča:	Naslednji imajo isto razvrstitev oglišč in razvrstitev robov:
ikozaeder, mali stelirani dodekaeder, veliki ikozaeder in veliki dodekaeder.	mali stelirani dodekaeder in veliki ikozaeder.
dodekeder in veliki stelirani dodekaeder.	ikozaeder in veliki dodekaeder.

Glej tudi

• pravilni politop
• pravilni polieder
• uniformni polieder
• uniformni stelirani polieder
• poliederska sestava
• Schläfli-Hessov polihoron

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Kepler-Poinsot Solid«. MathWorld.
• Modeli Kepler-Poinsotovih teles (angleško)
• Uniformni poliedri (angleško)
• Kepler-Poinsotovi poliedri (angleško)
• Modeli Kepler-Poinsotovih poliedrov (angleško)
• Stella software za kreiranje slik (angleško)