Schläflijev simbol

Dodekaeder je pravilni polieder s Schläflijevim simbolom {5,3}. Ima 3 petkotnike okoli vsakega oglišča.

Schläflijev simbol je v geometriji oznaka, ki ima obliko {p,q,r,...} in definira pravilne politope in teselacije.

Imenuje se po matematiku Ludwigu Schläfliju (1818–1895).

Opis

Schläflijev simbol se lahko opiše rekurzivno tako, da se prične s p-kotnim mnogokotnikom. To pomeni, da oznaka {3} pomeni enakostranični trikotnik, oznaka {4} pomeni kvadrat in tako naprej. Pravilni polieder, ki ima q pravilnih stranskih ploskev iz p-kotnikov, ki se stikajo v oglišču ima oznako {p, q}. Primer: kocka ima tri kvadrate, ki se stikajo v vsakem od oglišč in zato označujemo kvadrat z {4, 3}. To pa pomeni da se v vsakem oglišču stikajo trije kvadrati.

Pravilni 4- politop z r{p, q} pravilnimi poliedrskimi celicami okoli vsakega roba se označuje z {p, q, r}. To seveda lahko nadaljujemo.

Pravilni politopi lahko imajo elemente zvezdnih mnogokotnikov kot je pentagram s simbolom {5/2}.

Faceta pravilnega politopa {p, q, r,...., y, z} je {p, q, r,...., y}.

Pravilni politop ima pravilno sliko oglišč. Slika oglišč pravilnega politopa {p, q, r,...} je {q, r,...}.

Pravilni politop ima tudi svoj dualni politop, ki ga prikažemo s Schläflijevimi simboli v obratnem vrstnem redu. Sebi dualni pravilni politop ima simetrični Schläflijev simbol.

Grupe simetrije

Schläflijev simbol je v zvezi s simetrijskimi grupami refleksije, ki se imenujejo Coxeterjeve grupe. Za njihovo označevanje pa uporabljamo oglate oklepaje. Primer: [p, q, r]. Te grupe pogosto imenujemo kar s politopi, ki jih generirajo. Primeri: oznaka [3, 3] pomeni tetraedrsko simetrijo, oznaka [3, 4] pomeni oktaedrsko simetrijo, oznaka [3, 5] pa pomeni ikozaedersko simetrijo.

Pravilni poligoni v ravnini

Schläflijev simbol za pravilni mnogokotnik z n robovi je {n}, Zgleda: pravilni petkotnik se označi z {5} Pentagram ima oznako {5/2}

Pravilni poliedri v trirazsežnem prostoru

Schläflijev simbol za pravilne poliedre je {p, q}, če so vse stranske ploskve p-kotniki in vsakemu oglišču pripada q stranskih ploskev. To pa pomeni, da je oblika oglišča q- kotnik.

Pravilni polihoroni v štirirazsežnem prostoru

Schläflijev simbol za pravilne polihorone ima obliko {p, q, r}. Če so dvorazsežne stranske ploskve pravilni p-kotniki, potem so celice pravilni poliedri tipa {p, q}. Slike oglišč pa so pravilni poliedri tipa {q, r}, slike robov so pravilni r-kotniki, ki imajo tip {r}

Višje razsežnosti

Za višje razsežnosti za politope definiramo Schläflijev simbol kot {p₁, p₂, ..., p_n − 1}, če imajo facete Schläflijev simbol enak in imajo slike oglišč ta simbol v obliki {p₂,p₃, ..., p_n − 1}.

Razširitev Schläflijevega simbola

Coxeter (1907 – 2003) je razširil uporabo Schläflijevega simbola še na kvazipravilne poliedre z dodajanjem vertikalne razsežnosti v simbol. To je bila začetna točka v razvoju splošnejših Coxeter-Dinkinovih diagramov

oblika	razširjeni Schläflijev simbol	t-notacija
pravilna	${\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}$	t₀{p,q}
kvazipravilna	${\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	t₁{p,q}
pravilna dualna	${\begin{Bmatrix}q,p\end{Bmatrix}}$	t₂{p,q}

Za rektificirane 4-politope pa velja

oblika	razširjani Schläflijev simbol	t-notacija
pravilna	${\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}$	t₀{p,q,r}
popravljena	${\begin{Bmatrix}p\\q,r\end{Bmatrix}}$	t₁{p,q,r}
dualna popravljena	${\begin{Bmatrix}q,p\\r\end{Bmatrix}}$	t₂{p,q,r}
pravilna dualna	${\begin{Bmatrix}r,q,p\end{Bmatrix}}$	t₃{p,q,r}