Petrijev mnogokotnik

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Petrijev mnogokotnik za pravilne politope z razsežnostjo n je nagnjeni mnogokotnik v katerih vsaka zaporedna stranica (n - 1) pripada eni od facet. Petrijev mnogokotnik pravilnega mnogokotnika je sam po sebi pravilen mnogokotnik. Tako je za pravilni polieder nagnjen mnogokotnik tisti, ki mu za vsaki dve zaporedni stranici (ne pa tri) pripada ena od stranskih ploskev [1].

Za vsak pravilni politop obstoja pravokotna projekcija na ravnino tako, da Petrijev mnogokotnik postane pravilni mnogokotnik.

Petrijevi mnogokotniki so neplanarni mnogokotniki, katerih robovi so podmnožica robov poliedrov [2].

Ravnina, ki jo obravnavamo, je Coxeterjeva ravnina s simetrijsko grupo mnogokotnika in s številom stranic h , ki so Coxeterjeva števila Coxeterjeve grupe. Ti mnogokotniki in projicirani grafi so zelo uporabni za predstavo o strukturi simetrije za politope v višjih razsežnostih.

Zgodovina[uredi | uredi kodo]

John Flinders Petrie (1907 – 1972) je bil prvi, ki je spoznal pomembnost poševnih mnogokotnikov. Po njem se tudi imenujejo mnogokotniki. Bil je edini sin egiptologa Flindersa Petriea (1853 – 1942).

Petrijevi mnogokotniki pravilnih poliedrov[uredi | uredi kodo]

Petrijev mnogokotnik pravilnega poliedra {p, q} s h stranicami je

cos2(π/h) = cos2(π/p) + cos2(π/q).

pravilna duala {p, q} in {q, p} sta v istem projiciranem Petrijevem mnogokotniku.

Petrijevi mnogokotniki za pravilne poliedre (rdeči mnogokotniki)
Petrie polygons.png
tetraeder kocka oktaeder dodekaeder ikozaeder
CDel node 1.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
centrirano na stranico centrirano na oglišče centrirano na stransko ploskev centrirano na stransko ploskev centrirano na oglišče
4 stranice 6 stranic 6 stranic 10 stranic 10 stranic
V:(4,0) V:(6,2) V:(6,0) V:(10,10,0) V:(10,2)
Petrijevi mnogokotniki so zunanjost teh ortogonalnih projekcij. Modro kaže "sprednje" robove, črne črte kažejo zadnje robove.

Koncentrični obroč oglišč štejemo od zunanje strani navznoter z oznako: V:(ab, ...) in končamo z nič, če ni središčnega oglišča.

Petrijevi mnogokotniki pravilnih polihoronov (4-politopov)[uredi | uredi kodo]

4-simplex t0.svg
{3,3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
5-celica
5 stranskih ploskev
V:(5,0)
4-orthoplex.svg
{3,3,4}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
16-celica
8 stranskih ploskev
V:(8,0)
4-cube graph.svg
{4,3,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
teserakt
8 stranskih ploskev
V:(8,8,0)
24-cell t0 F4.svg
{3,4,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
24-celica
12 stranskih ploskev
V:(12,6,6,0)
120-cell graph H4.svg
{5,3,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

120-celica
30 stranskih ploskev
V:((30,60)3,603,30,60,0)
600-cell graph H4.svg
{3,3,5}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png

600-celica
30 stranskih ploskev
V:(30,30,30,30,0)

Projekcije Petrijevih mnogokotnikov pravilnih in uniformnih politopov[uredi | uredi kodo]

Projekcije Petrijevih mnogokotnikov so ena izmed najbolj uporabnih načinov za prikaz politopov, ki imajo razsežnost štiri in več. V spodnji preglednici so prikazane projekcije Petrijevih mnogokotnikov treh družin simpleksov, hiperkock in ortopleksov ter posebnih Liejevih grup En, ki generirajo polpravilne in uniformne politope za razsežnosti od 4 do 8.


Pregled družin politopov
Coxeterjeva grupa An BCn Dn
E6 E7 E8 F4 G2
Hn
2 2-simplex t0.svg
trikotnik
CDel node 1.pngCDel node.png
2-orthoplex.svg
kvadrat
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
  Regular hexagon.svg

šestkotnik
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.png
Regular pentagon.svg

petkotnik
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.png
3 Tetrahedron petrie.png

tetraeder
CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
Cube petrie.png

kocka
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
Octahedron petrie.png

oktaeder
CDel node 1.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
3-demicube.svg

tetraeder
CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.png
  Dodecahedron petrie.png

dodekaeder
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel node.png
Icosahedron petrie.png

ikozaeder
CDel node 1.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
4 4-simplex t0.svg

5-celica
CDel node 1.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.png
4-cube graph.svg
teserakt
CDel node 1.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.png
4-orthoplex.svg

16-celica
CDel node 1.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
4-demicube.svg
polteserakt
CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
24-cell graph F4.svg

24-celica
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
120-cell petrie polygon.svg

120-celica
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
600-cell petrie polygon.svg

600-celica
CDel node 1.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
5 5-simplex t0.svg

5-simpleks
CDel node 1.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.png
5-cube graph.svg

5-kocka
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.png
5-orthoplex.svg

5-ortopleks
CDel node 1.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
5-demicube.svg

5-polkocka
CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel nodea.png
   
6 6-simplex t0.svg

6-simpleks
CDel node 1.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.png
6-cube graph.svg

6-kocka
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.png
6-orthoplex.svg

6-ortopleks
CDel node 1.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
6-demicube.svg

6-polkocka
CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel nodea.pngCDel nodea.png
Up 1 22 t0 E6.svg

122
CDel nodea.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch 01lr.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel nodea.png
E6 graph.svg

221
CDel nodea.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel nodea 1.png
 
7 7-simplex t0.svg

7-simpleks
CDel node 1.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.png
7-cube graph.svg

7-kocka
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.png
7-orthoplex.svg

7-ortopleks
CDel node 1.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
7-demicube.svg

7-polkocka
CDel nodea 1.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel nodea.png
Gosset 1 32 petrie.svg

132
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch 01lr.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
Gosset 2 31 polytope.svg

231
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.png
E7 graph.svg

321
CDel nodea 1.pngCDel nodea.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel nodea.png
 
8 8-simplex t0.svg

8-simpleks
CDel node 1.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.png
8-cube.svg

8-kocka
CDel node 1.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
8-orthoplex.svg

8-ortopleks
CDel node 1.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
8-demicube.svg

8-polkocka
CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel nodea.pngCDel nodea.pngCDel nodea.png
Gosset 1 42 polytope petrie.svg

142
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch 01lr.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
2 41 polytope petrie.svg

241
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.png
Gosset 4 21 polytope petrie.svg

421
CDel nodea 1.pngCDel nodea.pngCDel nodea.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel nodea.png
 
9 9-simplex t0.svg

9-simpleks
CDel node 1.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.png
9-cube.svg

9-kocka
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.png
9-orthoplex.svg

9-ortopleks
CDel node 1.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
9-demicube.svg

9-polkocka
CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel nodea.pngCDel nodea.pngCDel nodea.pngCDel nodea.pngCDel nodea.pngCDel nodea.png
10 10-simplex t0.svg 10-simpleksCDel node 1.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.png 10-cube.svg 10-kocka
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.png
10-orthoplex.svg 10-ortopleks
CDel node 1.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
10-demicube.svg 10-polkocka
CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel nodea.pngCDel nodea.pngCDel nodea.pngCDel nodea.pngCDel nodea.pngCDel nodea.pngCDel nodea.png
družina
n
n-simpleks n-hiperkocka n-ortopleks n-polkocka 1k2 2k1 k21

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ Kaleidoscopes: Selected Writings of H. S. M. Coxeter, editied by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] (Definicija: listina 13, Diskretne grupe generirane z zrcaljenjem, 1933, s. 161)
  2. ^ Podatek na Epinet-u

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]