Petrijev mnogokotnik

Petrijev mnogokotnik za pravilne politope z razsežnostjo $n$ je nagnjeni mnogokotnik v katerih vsaka zaporedna stranica (n - 1) pripada eni od facet. Petrijev mnogokotnik pravilnega mnogokotnika je sam po sebi pravilen mnogokotnik. Tako je za pravilni polieder nagnjen mnogokotnik tisti, ki mu za vsaki dve zaporedni stranici (ne pa tri) pripada ena od stranskih ploskev .

Za vsak pravilni politop obstoja pravokotna projekcija na ravnino tako, da Petrijev mnogokotnik postane pravilni mnogokotnik.

Petrijevi mnogokotniki so neplanarni mnogokotniki, katerih robovi so podmnožica robov poliedrov .

Ravnina, ki jo obravnavamo, je Coxeterjeva ravnina s simetrijsko grupo mnogokotnika in s številom stranic $h$, ki so Coxeterjeva števila Coxeterjeve grupe. Ti mnogokotniki in projicirani grafi so zelo uporabni za predstavo o strukturi simetrije za politope v višjih razsežnostih.

Zgodovina

John Flinders Petrie (1907 – 1972) je bil prvi, ki je spoznal pomembnost poševnih mnogokotnikov. Po njem se tudi imenujejo mnogokotniki. Bil je edini sin egiptologa Flindersa Petriea (1853 – 1942).

Petrijevi mnogokotniki pravilnih poliedrov

Petrijev mnogokotnik pravilnega poliedra {p, q} s h stranicami je

cos²(π/h) = cos²(π/p) + cos²(π/q).

pravilna duala {p, q} in {q, p} sta v istem projiciranem Petrijevem mnogokotniku.

Petrijevi mnogokotniki za pravilne poliedre (rdeči mnogokotniki)

tetraeder	kocka	oktaeder	dodekaeder	ikozaeder
centrirano na stranico	centrirano na oglišče	centrirano na stransko ploskev	centrirano na stransko ploskev	centrirano na oglišče
4 stranice	6 stranic	6 stranic	10 stranic	10 stranic
V:(4,0)	V:(6,2)	V:(6,0)	V:(10,10,0)	V:(10,2)
Petrijevi mnogokotniki so zunanjost teh ortogonalnih projekcij. Modro kaže "sprednje" robove, črne črte kažejo zadnje robove. Koncentrični obroč oglišč štejemo od zunanje strani navznoter z oznako: V:(a, b, ...) in končamo z nič, če ni središčnega oglišča.

Petrijevi mnogokotniki pravilnih polihoronov (4-politopov)

{3,3,3} 5-celica 5 stranskih ploskev V:(5,0)	{3,3,4} 16-celica 8 stranskih ploskev V:(8,0)	{4,3,3} teserakt 8 stranskih ploskev V:(8,8,0)
{3,4,3} 24-celica 12 stranskih ploskev V:(12,6,6,0)	{5,3,3} 120-celica 30 stranskih ploskev V:((30,60)3,603,30,60,0)	{3,3,5} 600-celica 30 stranskih ploskev V:(30,30,30,30,0)

Projekcije Petrijevih mnogokotnikov pravilnih in uniformnih politopov

Projekcije Petrijevih mnogokotnikov so ena izmed najbolj uporabnih načinov za prikaz politopov, ki imajo razsežnost štiri in več. V spodnji preglednici so prikazane projekcije Petrijevih mnogokotnikov treh družin simpleksov, hiperkock in ortopleksov ter posebnih Liejevih grup E_n, ki generirajo polpravilne in uniformne politope za razsežnosti od 4 do 8.

Zunanje povezave

• Petrijev mnogokotnik na MathWorld (v angleščini)
• Graf hiperkocke na MathWorld (v angleščini)
• Petrijev mnogokotnik na WolframAlpha (v angleščini)