Pojdi na vsebino

Enakokotni mnogokotnik: Razlika med redakcijama

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Izbrisana vsebina Dodana vsebina
m m/+p
m+
Vrstica 1: Vrstica 1:
[[Slika:Rectangle with description.svg|thumb|right|200px|Vsak [[pravokotnik]] je edini enakokotni [[štirikotnik]] z notranjim kotom <math>\alpha = 90^{\circ}\, </math>]]
[[Slika:Rectangle with description.svg|thumb|right|200px|Vsak [[pravokotnik]] je edini enakokotni [[štirikotnik]] z notranjim kotom <math>\alpha = 360^{\circ} \cdot \frac{1}{4} = 90^{\circ}\, </math>]]
[[Slika:Equiangular pentagon 01.svg|thumb|right|200px|Zgled enakokotnega [[petkotnik]]a z notranjim kotom <math>\alpha = 108^{\circ}\, </math>]]
[[Slika:Equiangular pentagon 01.svg|thumb|right|200px|Zgled enakokotnega [[petkotnik]]a z notranjim kotom <math>\alpha = 360^{\circ} \cdot \frac{3}{10} = 108^{\circ}\, </math>]]


'''Enakokótni mnogokótnik''' je v [[planimetrija|ravninski geometriji]] [[mnogokotnik]] pri katerem so vsi [[notranji kot|notranji]] [[kot]]i enaki, oziroma [[skladnost (geometrija)|skladni]]. Če so skladne tudi vse njegove [[stranica|stranice]] je mnogokotnik [[pravilni mnogokotnik|pravilen]].
'''Enakokótni mnogokótnik''' je v [[planimetrija|ravninski geometriji]] [[mnogokotnik]] pri katerem so vsi [[notranji kot|notranji]] [[kot]]i enaki, oziroma [[skladnost (geometrija)|skladni]]. Če so skladne tudi vse njegove [[stranica|stranice]] je mnogokotnik [[pravilni mnogokotnik|pravilen]].
Vrstica 6: Vrstica 6:
Edini enakokotni [[trikotnik]] je [[enakostranični trikotnik]]. Edini enakokotni [[štirikotnik]]i so [[pravokotnik]]i in [[kvadrat (geometrija)|kvadrat]] je posebni primer pravokotnika.<ref name="ball">{{sktxt|Ball|2002}}.</ref>
Edini enakokotni [[trikotnik]] je [[enakostranični trikotnik]]. Edini enakokotni [[štirikotnik]]i so [[pravokotnik]]i in [[kvadrat (geometrija)|kvadrat]] je posebni primer pravokotnika.<ref name="ball">{{sktxt|Ball|2002}}.</ref>


Za vsak enakokotni mnogokotnik s številom stranic <math>n > 2\, </math> velja [[izrek]], ki pravi, da je vsak njegov notranji kot enak:
Pri vsakem enakokotnem mnogokotniku s številom stranic <math>n > 2\, </math> je velikost notranjih kotov enaka kot pri pravilnem mnogokotniku z enakim številom stranic <math>n\, </math>. Ker je vsota notranjih kotov [[konveksni in konkavni mnogokotnik|konveksnega]] mnogokotnika enaka:


: <math> \alpha = 360^{\circ}\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{n}\right) \!\, . </math>
: <math> S_{n}=(n-2)\cdot 180^\circ \!\, </math>

za vsak enakokotni mnogokotnik s številom stranic <math>n > 2\, </math> velja [[izrek]], ki pravi, da je vsak njegov notranji kot enak:

: <math> \alpha = \frac{S_{n}}{n} = 360^{\circ}\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{n}\right) \!\, . </math>


Posplošitev [[Vivianijev izrek|Vivianijevega izreka]] velja za poljubni enakokotni mnogokotnik:<ref name="ref1">{{sktxt|Abboud|2009|pp=11}}.</ref>{{rp|11}}
Posplošitev [[Vivianijev izrek|Vivianijevega izreka]] velja za poljubni enakokotni mnogokotnik:<ref name="ref1">{{sktxt|Abboud|2009|pp=11}}.</ref>{{rp|11}}
Vrstica 17: Vrstica 21:


[[Tetivni mnogokotnik]] je enakokoten, [[če in samo če]] sta dolžini izmeničnih stranic skladni (stranice 1, 3, 5, ... in stranice 2, 4, 6, ...). Če je <math>n\, </math> [[liho število|lih]], je tetivni mnogokotnik enakokoten, če in samo če je pravilen.<ref>{{sktxt|De Villiers|2011}}.</ref>
[[Tetivni mnogokotnik]] je enakokoten, [[če in samo če]] sta dolžini izmeničnih stranic skladni (stranice 1, 3, 5, ... in stranice 2, 4, 6, ...). Če je <math>n\, </math> [[liho število|lih]], je tetivni mnogokotnik enakokoten, če in samo če je pravilen.<ref>{{sktxt|De Villiers|2011}}.</ref>

'''Aritmetični mnogokotnik''' je enakokotni mnogokotnik, katerega dolžine stranic tvorijo (do ustrezne razporeditve) nedegenerirano [[aritmetično zaporedje]].<ref name="dawson_2012">{{sktxt|Dawson|2012}}.</ref>{{rp|695}} Aritmetični mnogokotniki s številom stranic <math>2^{n}\, </math> ne obstajajo, obstajajo pa za vse druge [[sodo število|sode]] <math>n\, </math>.<ref name="dawson_2012" />{{rp|697}} Ne obstajajo aritmetični petkotniki ali [[sedemkotnik]]i, ni pa znano ali obstajajo za druge lihe <math>n\, </math>.<ref name="dawson_2012" />{{rp|698}}


== Opombe in sklici ==
== Opombe in sklici ==
{{sklici|1}}
{{sklici|3}}


== Viri ==
== Viri ==


* {{navedi splet|last= Abboud|first= Elias|title= On Viviani’s Theorem and its Extensions|year= 2009|url= http://arxiv.org/abs/0903.0753v3|id={{arxiv|id=0903.0753}}}}
* {{navedi splet|last= Abboud|first= Elias|title= On Viviani’s Theorem and its Extensions|year= 2009|url= http://arxiv.org/abs/0903.0753v3|id={{arxiv|id=0903.0753}}}}
* {{navedi revijo|last= Ball|first= Derek|title= Equiangular polygons|journal= [[The Mathematical Gazette]]|volume= 86|issue= 507|date= november 2002|pages= 396–407|jstor= 3621131}}
* {{navedi revijo|last= Ball|first= Derek|title= Equiangular polygons|journal= [[The Mathematical Gazette]]|volume= 86|issue= 507|date= november 2002|pages= 396–407|doi= 10.2307/3621131|jstor= 3621131}}
* {{navedi revijo|last= Dawson|first= Robert|title= Arithmetic Polygons|journal= [[The American Mathematical Monthly]]|volume= 119|issue= 8|date= oktober 2012|pages= 695–698|doi= 10.4169/amer.math.monthly.119.08.695 |jstor= 10.4169/amer.math.monthly.119.08.695|url= http://faculty.washington.edu/moishe/Hanoi-2012/REU-2012/Arithmetic%20Polygons.pdf}}
* {{navedi revijo|last= De Villiers|first= Michael|title= Equiangular cyclic and equilateral circumscribed polygons|journal = The Mathematical Gazette|volume= 95|issue= |date= marec 2011|pages= 102-107}}
* {{navedi revijo|last= De Villiers|first= Michael|title= Equiangular cyclic and equilateral circumscribed polygons|journal = The Mathematical Gazette|volume= 95|issue= |date= marec 2011|pages= 102-107}}
* {{navedi revijo|last1= Munteanu|first1= Marius|last2= Munteanu|first2= Laura|title= Rational Equiangular Polygons|journal= [[Applied Mathematics]]|volume= 4|issue= 10|year= 2013|doi= 10.4236/am.2013.410197|url= http://file.scirp.org/Html/14-7401789_37855.htm}}
* {{navedi knjigo|last= Williams|first= Robert Edward|authorlink= Robert Edward Williams|title= The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design|location= New York|publisher= [[Dover Publications]]|year= 1979|pages= 32|isbn= 978-0486237299}}
* {{navedi knjigo|last= Williams|first= Robert Edward|authorlink= Robert Edward Williams|title= The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design|location= New York|publisher= [[Dover Publications]]|year= 1979|pages= 32|isbn= 978-0486237299}}



Redakcija: 10:35, 27. junij 2014

Vsak pravokotnik je edini enakokotni štirikotnik z notranjim kotom
Zgled enakokotnega petkotnika z notranjim kotom

Enakokótni mnogokótnik je v ravninski geometriji mnogokotnik pri katerem so vsi notranji koti enaki, oziroma skladni. Če so skladne tudi vse njegove stranice je mnogokotnik pravilen.

Edini enakokotni trikotnik je enakostranični trikotnik. Edini enakokotni štirikotniki so pravokotniki in kvadrat je posebni primer pravokotnika.[1]

Pri vsakem enakokotnem mnogokotniku s številom stranic je velikost notranjih kotov enaka kot pri pravilnem mnogokotniku z enakim številom stranic . Ker je vsota notranjih kotov konveksnega mnogokotnika enaka:

za vsak enakokotni mnogokotnik s številom stranic velja izrek, ki pravi, da je vsak njegov notranji kot enak:

Posplošitev Vivianijevega izreka velja za poljubni enakokotni mnogokotnik:[2]:11

Vsota razdalj od poljubne notranje točke do oglišč enakokotnega mnogokotnika ni odvisna od njene lege in je invarianta mnogokotnika.

Pravokotnik (enakokotni štirikotnik) s celoštevilskimi dolžinami stranic se lahko pokrije z enotskimi kvadrati, enakokotni šestkotnik s celoštevilskimi dolžinami stranic pa z enotskimi enakostraničnimi trikotniki. Nekateri, vendar ne vsi, enakostranični dvanajstkotniki se lahko pokrijejo s kombinacijo enotskih kvadratov in enakostraničnih trikotnikov; preostali pa se lahko pokrijejo s tema dvema likoma skupaj z rombi z notranjima kotoma 30 in 150 stopinj.[1]

Tetivni mnogokotnik je enakokoten, če in samo če sta dolžini izmeničnih stranic skladni (stranice 1, 3, 5, ... in stranice 2, 4, 6, ...). Če je lih, je tetivni mnogokotnik enakokoten, če in samo če je pravilen.[3]

Aritmetični mnogokotnik je enakokotni mnogokotnik, katerega dolžine stranic tvorijo (do ustrezne razporeditve) nedegenerirano aritmetično zaporedje.[4]:695 Aritmetični mnogokotniki s številom stranic ne obstajajo, obstajajo pa za vse druge sode .[4]:697 Ne obstajajo aritmetični petkotniki ali sedemkotniki, ni pa znano ali obstajajo za druge lihe .[4]:698

Opombe in sklici

Viri

  • Abboud, Elias (2009). »On Viviani's Theorem and its Extensions«. arXiv:0903.0753.
  • Ball, Derek (november 2002). »Equiangular polygons«. The Mathematical Gazette. Zv. 86, št. 507. str. 396–407. doi:10.2307/3621131. JSTOR 3621131.{{navedi revijo}}: Vzdrževanje CS1: samodejni prevod datuma (povezava)
  • Dawson, Robert (Oktober 2012). »Arithmetic Polygons« (PDF). The American Mathematical Monthly. Zv. 119, št. 8. str. 695–698. doi:10.4169/amer.math.monthly.119.08.695. JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.119.08.695.
  • De Villiers, Michael (Marec 2011). »Equiangular cyclic and equilateral circumscribed polygons«. The Mathematical Gazette. Zv. 95. str. 102–107.
  • Munteanu, Marius; Munteanu, Laura (2013). »Rational Equiangular Polygons«. Applied Mathematics. Zv. 4, št. 10. doi:10.4236/am.2013.410197.
  • Williams, Robert Edward (1979). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. New York: Dover Publications. str. 32. ISBN 978-0486237299.

Zunanje povezave