Pitagorov izrek

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Pitagorov izrek
Geometrijska razlaga Pitagorovega izreka
Geometrijska razlaga za trikotnik (3, 4, 5) iz kitajskega matematičnega dela Čou Pei Suan Čing (周髀算经) (206 pr. n. št. - 220) z 246 problemi

Pitágorov izrèk je izrek v ravninski geometriji, imenovan po Pitagori, čeprav je bil znan že pred njim:

Vsota površin kvadratov katet pravokotnega trikotnika je enaka površini kvadrata nad hipotenuzo.

Izrek lahko zapišemo tudi kot:

 c^{2} = a^{2} + b^{2} \!\, ,

kjer sta a in b dolžini katet, c pa dolžina hipotenuze. To je verjetno najbolj znan pojem iz celotne geometrije. Priljubljeno se imenuje tudi (»Oslovski most«). Posplošila sta ga Hipokrat in Evdoks. Prvi ga naj bi po Evdemu celo dokazal pred Evdoksom. Za pravokotni trikotnik ga je dokazal Evklid v Elementih. Uporabljali so ga že Egipčani in Kitajci v 6. stoletju pr. n. št.

Iz tega lahko izpeljemo, vrednost za c:

 c = \sqrt{a^2 + b^2} \!\, .

Velja tudi nasprotna trditev:

Za poljubna tri pozitivna števila a, b in c, za katera velja a2 + b2 = c2, obstaja trikotnik s stranicami a, b in c. V vsakem takšnem trikotniku je kot med stranicama a in b pravi.

To trditev dokažemo s kosinusnim izrekom, ki je posplošitev Pitagorovega izreka za vse (evklidske) trikotnike, ne samo za pravokotne. Geometrijski dokaz izreka v obeh smereh lahko vidimo iz naslednje slike, kjer smo le preuredili rumene trikotnike, pa smo dobili enako preostalo površino kot prej (modre in zelene je skupaj ravno toliko kot rdeče).

Glej tudi[uredi | uredi kodo]