Ortogonalnost

Odseka AB in CD sta pravokotna drug na drugega.

Ortogonálnost je v matematiki drugo ime za pravokotnost. Pogosto se izraza ortogonalnost ne more samo zamenjati z izrazom pravokotnost. Ortogonalnost je posplošitev pojma pravokotnosti. Ortogonalnost se lahko uporabi tudi v mnogorazsežnih prostorih.

Beseda izhaja iz dveh starogrških besed grško ὀρθός (ortos - pravilen) in grško γόνυ (goni - pravokoten). Včasih se za isti pojem uporablja tudi izraz normalnost (iz latinske besede norma (normal), ki pomeni merilo oziroma pravi kot. Pogosto se izraz normalnost povezuje z enotskimi vektorji. Izraz pravokotnost izhaja iz uporabe svinčnice s pomočjo katere so včasih določali pravokotnost na površino Zemlje.

Pojem ortogonalnost se uporablja na mnogih področjih matematike. V nadaljevanju je naštetih nekaj primerov:

• ortogonalna grupa
• ortogonalni sistem in ortonormirani sistem
• ortogonalna matrika
• ortogonalna projekcija
• ortogonalna preslikava
• ortogonalne koordinate
• ortogonalni polinomi
• ortogonalna baza

Iz naštetih primerov se vidi, da se izraz ortogonalnost ne more vedno zamenjati z izrazom pravokotnost.

V linearni algebri je ortogonalnost povezana s skalarnim produktom.

Definicije

• Dva vektorja sta v prehilbertovem prostoru ortogonalna, če je njun notranji produkt $\langle x,y\rangle$ enak 0. To se označuje z $x\perp y$.

• Dva linearna podprostora $A\,$ in $B\,$ v prehilbertovem prostoru $V\,$, sta ortogonalna podprostora, če je vsak vektor v $A\,$ pravokoten na vsak vektor v $B\,$

• Linearna transformacija $T:V\rightarrow V$ se imenuje ortogonalna linearna transformacija, če ohranja skalarni produkt. To pomeni, da transformacija $T\,$ ohranja kot med $x\,$ in $y\,$.

Ortogonalne funkcije

Za notranji produkt dveh funkcij:

$\langle f,g\rangle _{w}=\int _{a}^{b}f(x)g(x)w(x)\,\mathrm {d} x\!\,,$

kjer je:

• $\langle \dots \rangle \,$ notranji produkt
• $w(x)\,$ utežna funkcija

Ti dve funkciji sta ortogonalni, če je njun notranji produkt enak 0:

$\int _{a}^{b}f(x)g(x)w(x)\,\mathrm {d} x=0\!\,.$

Normo se lahko glede na notranji produkt in utežno funkcijo zapiše kot:

$\|f\|_{w}={\sqrt {\langle f,f\rangle _{w}}}\!\,.$

Člani zaporedja ${f_{j}:j=1,2,3,\dots }\,$ so:

• ortogonalni na intervalu $[a,b]\,$, če velja:

$\langle f_{i},f_{j}\rangle =\int _{a}^{b}f_{i}(x)f_{j}(x)w(x)\,\mathrm {d} x=\|f_{i}\|^{2}\delta _{i,j}=\|f_{j}\|^{2}\delta _{i,j}\!\,$

• ortonormalni na intervalu $[a,b]\,$, če velja:

$\langle f_{i},f_{j}\rangle =\int _{a}^{b}f_{i}(x)f_{j}(x)w(x)\,\mathrm {d} x=\delta _{i,j}\!\,,$

kjer je:

• $\delta _{ij}\,$ Kroneckerjeva delta.

Ortogonalni polinomi

Nekatera zaporedja polinomov tvorijo zaporedje ortogonalnih polinomov. Takšni polinomi so:

• Hermitovi polinomi, ki so ortogonalni glede na normalno porazdelitev, ki ima pričakovano vrednost 0.
• Legendrovi polinomi, ki so ortogonalni glede na zvezno enakomerno porazdelitev na intervalu od -1 do +1.
• Laquerrovi polinomi, ki so ortogonalni glede na eksponentno porazdelitev. Bolj splošni Laquerrovi polinomi pa so ortogonalni glede na porazdelitev gama
• polinomi Čebišova prve vrste so ortogonalni glede na mero $1/{\sqrt {1-x^{2}}}.$
• polinomi Čebiševa druge vrste so ortogonalni glede na Wignerjevo polkrožno porazdelitev

Glej tudi

• ortonormiranost

Zunanje povezave

• Priročnik za ortogonalnost Arhivirano 2011-05-17 na Wayback Machine. (angleško)
• Kompaktnost in ortogonalnost Arhivirano 2018-01-13 na Wayback Machine. (angleško)