Ortogonalnost

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Odseka AB in CD sta pravokotna drug na drugega.

Ortogonalnost je v matematiki drugo ime za pravokotnost. Pogosto izraza ortogonalnost ne moremo samo zamenjati z izrazom pravokotnost. Ortogonalnost je posplošitev pojma pravokotnost. Ortogonalnost lahko uporabimo tudi v večrazsežnih prostorih.

Beseda izhaja iz dveh grških besed ὀρθός (ortos - pravilen) in γόνυ (goni - pravokoten). Včasih za isti pojem uporabljamo tudi izraz normalnost (iz latinske besede norma (normal), ki pomeni merilo oziroma pravi kot. Pogosto je izraz normalnost povezujemo z enotskimi vektorji. Izraz pravokotnost izhaja iz uporabe svinčnice s pomočjo katere so včasih določali pravokotnost na površino Zemlje.

Pojem ortogonalnost se uporablja na mnogih področjih matematike. V nadaljevanju je naštetih nekaj primerov:

Iz naštetih primerov vidimo, da se izraz ortogonalnost ne more vedno zamenjati z izrazom pravokotnost.

V linearni algebri je ortogonalnost povezana s skalarnim produktom.

Definicije[uredi | uredi kodo]

  • Linearna transformacija T : V \rightarrow V se imenuje ortogonalna linearna transformacija, če ohranja skalarni produkt. To pomeni, da transformacija  T \, ohranja kot med  x \, in  y \,.

Ortogonalne funkcije[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: Ortogonalna funkcija.

Za notranji produkt dveh funkcij

\langle f, g\rangle_w = \int_a^b f(x)g(x)w(x)\,dx.

kjer je

Pravimo, da sta ti dve funkciji ortogonalni, če je njihov notranji produkt enak 0

\int_a^b f(x)g(x)w(x)\,dx = 0.

Normo lahko glede na notranji produkt in utežno funkcijo zapišemo kot

\|f\|_w = \sqrt{\langle f, f\rangle_w}.

Člani zaporedja  {f_j: j=1, 2, 3, \dots }\, so

  • ortogonalni na intervalu  [a, b] \,, če velja
\langle f_i, f_j \rangle=\int_a^b f_i(x) f_j(x) w(x)\,dx=\|f_i\|^2\delta_{i,j}=\|f_j\|^2\delta_{i,j}
  • ortonormalni na intervalu  [a, b] \,, če velja
\langle f_i, f_j \rangle=\int_a^b f_i(x) f_j(x) w(x)\,dx=\delta_{i,j}

kjer je

Ortogonalni polinomi[uredi | uredi kodo]

Nekatera zaporedja polinomov tvorijo zaporedje ortogonalnih polinomov. Takšni polinomi so

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]