Ortogonalnost

Odseka AB in CD sta pravokotna drug na drugega.

Ortogonalnost je v matematiki drugo ime za pravokotnost. Pogosto izraza ortogonalnost ne moremo samo zamenjati z izrazom pravokotnost. Ortogonalnost je posplošitev pojma pravokotnost. Ortogonalnost lahko uporabimo tudi v večrazsežnih prostorih.

Beseda izhaja iz dveh grških besed ὀρθός (ortos - pravilen) in γόνυ (goni - pravokoten). Včasih za isti pojem uporabljamo tudi izraz normalnost (iz latinske besede norma (normal), ki pomeni merilo oziroma pravi kot. Pogosto je izraz normalnost povezujemo z enotskimi vektorji. Izraz pravokotnost izhaja iz uporabe svinčnice s pomočjo katere so včasih določali pravokotnost na površino Zemlje.

Pojem ortogonalnost se uporablja na mnogih področjih matematike. V nadaljevanju je naštetih nekaj primerov:

• ortogonalna grupa
• ortogonalni sistem in ortonormirani sistem
• ortogonalna matrika
• ortogonalna projekcija
• ortogonalna preslikava
• ortogonalne koordinate
• ortogonalni polinomi
• ortogonalna baza

Iz naštetih primerov vidimo, da se izraz ortogonalnost ne more vedno zamenjati z izrazom pravokotnost.

V linearni algebri je ortogonalnost povezana s skalarnim produktom.

Definicije

• Dva vektorja sta v prehilbertovem prostoru ortogonalna, če je njun notranji produkt $\langle x, y \rangle$ enak 0. To označujemo z $x \perp y$.

• Dva linearna podprostora $A \,$ in $B \,$ v prehilbertovem prostoru $V \,$, sta ortogonalna podprostora, če je vsak vektor v $A \,$ pravokoten na vsak vektor v $B \,$

• Linearna transformacija $T : V \rightarrow V$ se imenuje ortogonalna linearna transformacija, če ohranja skalarni produkt. To pomeni, da transformacija $T \,$ ohranja kot med $x \,$ in $y \,$.

Ortogonalne funkcije

Za notranji produkt dveh funkcij

$\langle f, g\rangle_w = \int_a^b f(x)g(x)w(x)\,dx.$

kjer je

• $\langle \dots \rangle \,$ notranji produkt
• $w(x) \,$ utežna funkcija

Pravimo, da sta ti dve funkciji ortogonalni, če je njihov notranji produkt enak 0

$\int_a^b f(x)g(x)w(x)\,dx = 0$.

Normo lahko glede na notranji produkt in utežno funkcijo zapišemo kot

$\|f\|_w = \sqrt{\langle f, f\rangle_w}$.

Člani zaporedja ${f_j: j=1, 2, 3, \dots }\,$ so

• ortogonalni na intervalu $[a, b] \,$, če velja

$\langle f_i, f_j \rangle=\int_a^b f_i(x) f_j(x) w(x)\,dx=\|f_i\|^2\delta_{i,j}=\|f_j\|^2\delta_{i,j}$

• ortonormalni na intervalu $[a, b] \,$, če velja

$\langle f_i, f_j \rangle=\int_a^b f_i(x) f_j(x) w(x)\,dx=\delta_{i,j}$

kjer je

• $\delta_{ij} \,$ Kroneckerjev delta.

Ortogonalni polinomi

Nekatera zaporedja polinomov tvorijo zaporedje ortogonalnih polinomov. Takšni polinomi so

• Hermitovi polinomi, ki so ortogonalni glede na normalno porazdelitev, ki ima pričakovano vrednost 0.
• Legendrovi polinomi, ki so ortogonalni glede na zvezno enakomerno porazdelitev na intervalu od -1 do +1.
• Laquerrovi polinomi, ki so ortogonalni glede na eksponentno porazdelitev. Bolj splošni Laquerrovi polinomi pa so ortogonalni glede na porazdelitev gama
• polinomi Čebišova prve vrste so ortogonalni glede na mero $1/\sqrt{1-x^2}.$
• polinomi Čebiševa druge vrste so ortogonalni glede na Wignerjevo polkrožno porazdelitev

Glej tudi

• ortonormiranost

Zunanje povezave

• Priročnik za ortogonalnost (v angleščini)
• Kompaktnost in ortogonalnost (v angleščini)