Eliptična geometrija

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Elíptična geometríja (tudi Riemannova geometrija - v ožjem smislu) je neevklidska geometrija, v kateri veljajo nekoliko drugačni aksiomi kot v običajni evklidski geometriji. V eliptični geometriji namesto aksioma o vzporednici velja:

Skozi točko T, ki ne leži na premici p, ne poteka nobena vzporednica k premici p.

Značilnosti eliptične geometrije[uredi | uredi kodo]

Vzporednost[uredi | uredi kodo]

V eliptični geometriji vzporednic sploh ni. Premici, ki ležita v isti ravnini, se vedno sekata. Druga zanimiva lastnost premic: vse premice v eliptični geometriji imajo končno dolžino.

Vsota kotov[uredi | uredi kodo]

Vsota kotov v poljubnem trikotniku je vedno večja od 180°. Odstopanje vsote kotov od 180° imenujemo defekt trikotnika:

δ = (α + β + γ) − 180°.

Pogosto kote merimo v radianih, ki veljajo za naravno kotno mero. V tem primeru velja, da je vsota kotov v trikotniku manjša od π radianov in defekt je enak:

δ = (α + β + γ) − π.

Zanimivost: v eliptični geometriji je trikotnik do skladnosti natančno določen tudi s koti, zato v eliptični geometriji podobnost likov sploh ne obstaja.

Podobno kot za trikotnike velja tudi za druge večkotnike: vsota kotov v štirikotniku je vedno večja od 360°, zato npr. ne obstaja štirikotnik, ki bi imel same prave kote (pravokotnik). Obstaja pa trikotnik, ki ima tri prave kote.

Ploščina[uredi | uredi kodo]

Ploščina trikotnika je v eliptični geometriji premosorazmerna z defektom:

p = k δ.

Koeficient k je odvisen od izbire enot. Pogosto izberemo za merjenje kotov naravne enote – radiane. Če izberemo tudi za merjenje razdalj (in posledično ploščin) ustrezne enote, je možno doseči, da je k enak 1. Ustrezne dolžinske enote imenujemo naravne dolžinske enote.

V naravnih enotah torej velja:

p = δ.

Kot smo že omenili, je dolžina poljubne premice končna. Če izberemo naravne dolžinske enote, velja celo več: dolžina poljubne premice je enaka π enot.

Modeli eliptične geometrije[uredi | uredi kodo]

Zaradi lažjega vizuelnega predstavljanja so matematiki izdelali več modelov eliptične geometrije. Zaradi preprostosti si bomo ogledali dva najosnovnejša modela ravninske eliptične geometrije. Obstajajo tudi ustrezni prostorski modeli, vendar si jih je težje predstavljati.

Razširjena ravnina[uredi | uredi kodo]

Eliptično ravnino si lahko predstavljamo kot običajno ravnino, ki ji dodamo točke v neskončnosti. Pri tem privzamemo, da se poljubni dve premici, ki sta v evklidskem smislu vzporednici, sekata v točki v neskončnosti.

Dobljeno ravnino (z dodanimi neskončnimi točkami) si predstavljamo v koordinatnem sistemu kot ravnino z enačbo z = 1, torej kot vodoravno ravnino 1 enoto nad koordinatnim izhodiščem.

Eliptično razdaljo med točkama A in B dobimo kot kót med krajevnima vektorjema, ki pripadata točkama A in B. Če ta kot izrazimo v radianih, smo dobili eliptično razdaljo med točkama A in B v naravnih enotah.

Hemisfera[uredi | uredi kodo]

Eliptično ravnino si pogosto pedstavljamo kot sfero, ki ima po dve antipodni točki poistoveteni. Še lažje si jo predstavljamo kot hemisfero (pol sfere), pri čemer si mislimo, da so točke na obodu zleplene med sabo (če neka črta prečka obod na eni strani, se nadaljuje na diametralni strani).

Premice so v tem modelu polovice glavnih krožnic na sferi – zaradi lepljenja na obodu so premice v eliptični geometriji sklenjene črte. Razdalje in kote merimo tako, kot je običajno v geometriji na sferi (glej: sferna geometrija). Če je polmer hemisfere enak 1, gre za naravne enote.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]