Fourierjeva vrsta

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Prvi štirje približki Fourirjevih vrst za pravokotni val.

Fourierjeve vrste v matematiki omogočajo razstavljanje poljubne periodične funkcije ali periodičnega signala v vsoto (po možnosti končno) skupine periodičnih funkcij kot sta sinus in kosinus. Proučevanje Fourierjevih vrst je veja Fourierjeve analize.

Tako lahko na primer funkcijo  S(x) razvijemo v neskončno vrsto po sinusih:

 S(x) = b_1\sin x + b_2 \sin 2x + b_3 \sin 3x + \cdots = \sum_{n=1}^\infty  b_n \sin nx \!\, .

Lahko pa neko drugo funkcijo  C(x) razvijemo v neskončno vrsto po kosinusih:

 C(x) = b_0 + b_1\cos x + b_2 \cos 2x + b_3 \cos 3x + \cdots = b_0 + \sum_{n=1}^\infty  b_n \cos nx \!\, .

Pri tem pa obe funkciji ohranita nekatere osnovne značilnosti, kot so periodičnost, lihost (ali sodost), vrednost pri  x= 0 \, in  x= \pi \,.

Imenujejo se po francoskem fiziku in matematiku Josephu Fourierju (1768 - 1830).

Definicija[uredi | uredi kodo]

Fourierjev obrazec za periodične funkcije[uredi | uredi kodo]

Imamo periodično funkcijo  f(x) s periodo  2 \pi , ki je integrabilna na intervalu [- \pi, \pi] . Števila:

 a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x) \cos(nx)\, dx, \quad n \ge 0 \!\,

in:

 b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x) \sin(nx)\, dx, \quad n \ge 1 \!\,

imenujemo Fourierjevi koeficienti za funkcijo  f(x) .

Včasih uporabljamo tudi Fourierjeve vrste za  f  \,, ki jih označujemo z:

 (S_N f)(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^N \, [a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)], \quad N \ge 0 \!\, .

Delne vsote za  f  \, so trigonometrični polinomi. Pričakuje se, da funkcije  S_N \, za  f  \, dajejo približek, ki se približuje vrednosti za  f  \,, ko gre  N \, proti neskončnosti. Neskončna vsota v obliki:

 \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \, [a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)] \!\,

se imenuje Fourierjeva vrsta za  f  \,.

Fourierjeva vrsta ne konvergira vedno, saj se včasih celo za neko vrednost  x_0 \, vsota vrste v tej točki razlikuje od vrednosti  f(x_0) \, te funkcije. Harmonska analiza je področje, ki se ukvarja s konvergenco Fourierjevih vrst. Kadar je kvadrat funkcije integrabilen na [interval]]u  [- \pi, \pi] \,, takrat Fourierjeva vrsta konvergira skoraj v vsaki točki. Predpostavimo lahko, da Fourierjeva vrsta konvergira v vsaki točki razen v točkah nezveznosti.

Zgled periodične funkcije, ki se imenuje žagasti val.
Animacija prvih petih zaporednih delnih Fourierjevih vrst.

Zgled[uredi | uredi kodo]

Za zgled si oglejmo žagasti val in ga razvijmo v Fourierjevo vrsto. Žagasti val opišemo z naslednjo funkcijo:

 f(x) = x, \quad \mathrm{za} -\pi < x < \pi \!\, ,
 f(x + 2\pi) = f(x), \quad \mathrm{za}   -\infty < x < \infty \!\, .

V tem primeru dobimo za Fourierjeve koeficiente:

\begin{align}
a_0 &{} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\,dx = 0. \\
a_n &{} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x \cos(nx)\,dx = 0, \quad n \ge 0. \\
b_n &{}= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x \sin(nx)\, dx = -\frac{2}{n}\cos(n\pi) + \frac{2}{\pi n^2}\sin(n\pi) = 2 \, \frac{(-1)^{n+1}}{n}, \quad n \ge 1.\end{align}

Lahko se dokaže, da Fourierjeva vrsta konvergira k vrednosti  f(x) \, v vsaki točki, kjer je funkcija  f \, diferenciabilna. Torej lahko zapišemo:

 \begin{align}
f(x) &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos\left(nx\right)+b_n\sin\left(nx\right)\right] \\
&=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx), \quad \mathrm{za} \quad x - \pi \notin 2 \pi Z.
\end{align}

Eksponentna Fourierjeva vrsta[uredi | uredi kodo]

Uporabimo Eulerjev obrazec, ki ima obliko:

 e^{inx} = \cos(nx)+i\sin(nx) \!\, ,

kjer je:

S tem dobimo bolj zgoščeno obliko za Fourierjevo vrsto:

 f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{inx} \!\, .

Fourierjevi koeficienti pa so:

 c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-inx}\, dx \!\, .
 a_n = { c_n + c_{-n} } \quad \text{ za }n=0,1,2,\dots \!\,
 b_n = i( c_{n} - c_{-n} ) \quad \text{ za }n = 1,2,\dots \!\,

in:

 c_n = \begin{cases}
                   \frac{1}{2}(a_n - i b_n)       & n > 0 \\
                   \quad \frac{1}{2}a_0           & n = 0 \\
                   \frac{1}{2}(a_{-n} + i b_{-n}) & n < 0 \\
             \end{cases}

Zelo primerno je uporabiti obliko za  f \, tako, da dobimo obrazec v obliki:


f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \hat{f}(n)\cdot e^{inx}\,.

V tehniki pogosto uporabljamo naslednjo obliko

 f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F[n]\cdot e^{inx} \!\, ,

kjer:

  •  F[n] \, pomeni, da je uporabljena nezvezna domena frekvenc. Zelo pogosto v tehniki spremenljivka  x \, predstavlja čas.

Fourierjeve vrste v splošnem intervalu[uredi | uredi kodo]

Obravnavajmo splošni interval  [a, a + \tau] \,, kjer je s periodo  \tau \, za vsa realna števila definirana funkcija  g(x) \, s kompleksnimi koeficienti  G(n) \,. Lahko zapišemo:

 g(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty G[n]\cdot e^{i 2\pi \frac{n}{\tau} x} \!\, . Če je funkcija kvadratno integrabilna (velja:  \int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 \, dx < \infty, ) v intervalu  [a, a + \tau] \,, jo lahko v tem intervalu prikažemo z zgornjim obrazcem. To pa pomeni, da takrat, ko dobimo koeficiente za funkcijo  h(x) \, z:
 G[n] = \frac{1}{\tau}\int_a^{a+\tau} h(x)\cdot e^{-i 2\pi \frac{n}{\tau} x}\, dx \!\, ,

potem je  g(x) \, povsod na intervalu  [a, a + \tau] \, enak  h(x) \,. Iz tega sledi, da ima  h(x) \, periodo enako  \tau \, in, da naslednje

  • sta  g(x) \, in  h(x) \, povsod enaka, razen na mestih vezveznosti
  •  a \, lahko poljubno izberemo. Najpogosteje se izbere  a = 0 \, in  a = \tau /2 \,.

Fourierjeve vrste v kvadratu[uredi | uredi kodo]

Definiramo lahko tudi Fourierjeve vrste za dve spremenljivki x in y v kvadratu  [-\pi, \pi] \times [-\pi, \pi] \,:

 f(x,y) = \sum_{j,k \in \mathbb{Z}} c_{j,k}e^{ijx}e^{iky} \!\, ,

kjer je:

c_{j,k} = {1 \over 4 \pi^2} \int_{-\pi}^\pi \int_{-\pi}^\pi f(x,y) e^{-ijx}e^{-iky}\, dx \, dy \!\, .

Hilbertov prostor[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: Hilbertov prostor.

Če obravnavamo Hilbertove prostore, je množica funkcij \{ e_n = e^{i n x},n\in\mathbb{Z}\} tvori ortonormalno bazo prostora L^2([-\pi,\pi]) za kvadratno integrabilne funkcije v [-\pi, \pi] . Ta prostor je Hilbertov prostor z notranjim produktom za poljubna dva elementa  f in  g , ki je definiran kot:


\langle f,\, g \rangle
\;\stackrel{\mathrm{def}}{=} \;
\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\overline{g(x)}\,dx.

Osnovne Fourierjeve vrste v Hilbertovih prostorih lahko zapišemo kot:

 f=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \langle f,e_n \rangle \, e_n \!\, .

To pa je enakovredno s kompleksno eksponentno obliko (glej zgoraj). Oblika s sinusom in kosinusom tvori ortogonalno množico:

 \int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx)\, \cos(nx)\, dx = \pi \delta_{mn}, \quad m, n \ge 1, \!\,
 \int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx)\, \sin(nx)\, dx = \pi \delta_{mn}, \quad m, n \ge 1 \!\,
 \int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx)\, \sin(nx)\, dx = 0 \, \!\, ,

kjer je:

Značilnosti[uredi | uredi kodo]

Funkcija f \, pripada C^k(\mathbb{T}), če je f \, funkcija s periodo  2\pi nad  \mathbb {R} in, če je ta k-krat odvedljiva in je k-ti odvod zvezen. Označimo n-ti Fourierjev koeficient z \widehat{f}(n).

Posplošitve[uredi | uredi kodo]

Obstoja več vrst posplošitev Fourierjevih vrst. Njihovo proučevanje se imenuje harmonska analiza.

Približki in konvergenca Fourierjevih vrst[uredi | uredi kodo]

Glej tudi: Gibbsov pojav
Gibbsov pojav
Približek reda 10 za pravokotni val.
Približek reda 50 za pravokotni val.
Približek reda 250 za pravokotni val.

Zelo pomembno vprašanje je povezano s konvergenco Fourierjevih vrst. Pogosto moramo zamenjati neskončno vrsto \sum_{-\infty}^\infty s končno :(S_N f)(x) = \sum_{n=-N}^N \hat{f}(n) e^{inx}. Takšno vrsto imenujemo delna vsota. Zanima nas pa kako vrednost  (S_N f)(x) konvergira k  f(x) ko gre  N\, proti neskončnosti.

Divergenca Fourierjevih vrst[uredi | uredi kodo]

Fourierjeve vrste so izredno dobro konvergentne. Vrste, ki bi bile divergentne so zelo redke. V letu 1922 je ruski matematik Andrej Nikolajevič Kolmogorov (1903 – 1987) v enem svojih del podal primer integrabilne funkcije, katere Fourierjeva vrsta je skoraj povsod divergentna.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]