Fourierjeva vrsta

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Prvi štirje približki Fourirjevih vrst za pravokotni val.

Fourierjeve vrste v matematiki omogočajo razstavljanje poljubne periodične funkcije ali periodičnega signala v vsoto (po možnosti končno) skupine periodičnih funkcij kot sta sinus in kosinus. Proučevanje Fourierjevih vrst je veja Fourierjeve analize.

Tako se lahko na primer funkcijo razvije v neskončno vrsto po sinusih:

Lahko pa se neko drugo funkcijo razvije v neskončno vrsto po kosinusih:

Pri tem obe funkciji ohranita nekatere osnovne značilnosti, kot so periodičnost, lihost (ali sodost), vrednost pri in .

Imenujejo se po francoskem fiziku in matematiku Josephu Fourierju (1768 - 1830).

Definicija[uredi | uredi kodo]

Fourierjev obrazec za periodične funkcije[uredi | uredi kodo]

Naj je periodična funkcija s periodo , ki je integrabilna na intervalu . Števila:

in:

se imenujejo Fourierjevi koeficienti za funkcijo .

Včasih se uporablja tudi Fourierjeve vrste za , ki se jih označuje z:

Delne vsote za so trigonometrični polinomi. Pričakuje se, da funkcije za dajejo približek, ki se približuje vrednosti za , ko gre proti neskončnosti. Neskončna vsota v obliki:

se imenuje Fourierjeva vrsta za .

Fourierjeva vrsta ne konvergira vedno, saj se včasih celo za neko vrednost vsota vrste v tej točki razlikuje od vrednosti te funkcije. Harmonska analiza je področje, ki se ukvarja s konvergenco Fourierjevih vrst. Kadar je kvadrat funkcije integrabilen na intervalu , takrat Fourierjeva vrsta konvergira skoraj v vsaki točki. Predpostavi se lahko, da Fourierjeva vrsta konvergira v vsaki točki razen v točkah nezveznosti.

Zgled periodične funkcije, ki se imenuje žagasti val.
Animacija prvih petih zaporednih delnih Fourierjevih vrst.

Zgled[uredi | uredi kodo]

V zgledu se obravnava žagasti val in se ga razvije v Fourierjevo vrsto. Žagasti val se opiše z naslednjo funkcijo:

V tem primeru se dobi za Fourierjeve koeficiente:

Lahko se dokaže, da Fourierjeva vrsta konvergira k vrednosti v vsaki točki, kjer je funkcija diferenciabilna. Torej se lahko zapiše:

Eksponentna Fourierjeva vrsta[uredi | uredi kodo]

Uporabi se Eulerjev obrazec, ki ima obliko:

kjer je:

S tem se dobi bolj zgoščeno obliko za Fourierjevo vrsto:

Fourierjevi koeficienti pa so:

in:

Zelo primerno je uporabiti obliko za tako, da se dobi obrazec v obliki:

V tehniki se pogosto uporablja naslednjo obliko:

kjer:

  • pomeni, da je uporabljena nezvezna domena frekvenc. Zelo pogosto v tehniki spremenljivka predstavlja čas.

Fourierjeve vrste v splošnem intervalu[uredi | uredi kodo]

Obravnava se splošni interval , kjer je s periodo za vsa realna števila definirana funkcija s kompleksnimi koeficienti . Lahko se zapiše:

Če je funkcija kvadratno integrabilna (velja: ) v intervalu , se jo lahko v tem intervalu prikaže z zgornjim obrazcem. To pa pomeni, da takrat, ko se dobi koeficiente za funkcijo z:

potem je povsod na intervalu enak . Iz tega sledi, da ima periodo enako in, da naslednje

  • sta in povsod enaka, razen na mestih vezveznosti
  • se lahko poljubno izbere. Najpogosteje se izbere in .

Fourierjeve vrste v kvadratu[uredi | uredi kodo]

Definira se lahko tudi Fourierjeve vrste za dve spremenljivki x in y v kvadratu :

kjer je:

Hilbertov prostor[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: Hilbertov prostor.

Če se obravnava Hilbertove prostore, množica funkcij tvori ortonormalno bazo prostora za kvadratno integrabilne funkcije v . Ta prostor je Hilbertov prostor z notranjim produktom za poljubna dva elementa in , ki je definiran kot:

Osnovne Fourierjeve vrste v Hilbertovih prostorih se lahko zapiše kot:

To pa je enakovredno s kompleksno eksponentno obliko (glej zgoraj). Oblika s sinusom in kosinusom tvori ortogonalno množico:

kjer je:

Značilnosti[uredi | uredi kodo]

Funkcija pripada , če je funkcija s periodo nad in, če je ta k-krat odvedljiva in je k-ti odvod zvezen. Označi se n-ti Fourierjev koeficient z .

  • če je periodična liha funkcija, potem so za vse
  • če je periodična soda funkcija, potem so za vse
  • če je integrabilna funkcija velja ter in To je Riemann-Lebesqueov izrek
  • dvojno neskončno zaporedje v je zaporedje Fourierjevih koeficientov funkcije v , če in samo če je to konvolucija v
  • Parsevalov izrek: če je , potem je tudi
  • Plancherelov izrek: če so koeficienti in velja , potem obstaja funkcija tako, da velja za vsak
  • prvi konvolucijski izrek pravi, da takrat, ko sta in v L1([−π, π]), potem velja tudi , kjer je ƒ ∗ g konvolucija s periodo funkcij in
  • drugi konvolucijski izrek pravi, da je

Posplošitve[uredi | uredi kodo]

Obstaja več vrst posplošitev Fourierjevih vrst. Njihovo proučevanje se imenuje harmonska analiza.

Približki in konvergenca Fourierjevih vrst[uredi | uredi kodo]

Glej tudi: Gibbsov pojav
Gibbsov pojav
Približek reda 10 za pravokotni val.
Približek reda 50 za pravokotni val.
Približek reda 250 za pravokotni val.

Zelo pomembno vprašanje je povezano s konvergenco Fourierjevih vrst. Pogosto je treba zamenjati neskončno vrsto s končno : Takšna vrsta se imenuje delna vsota. Želi se vedeti kako vrednost konvergira k , ko gre proti neskončnosti.

Divergenca Fourierjevih vrst[uredi | uredi kodo]

Fourierjeve vrste so izredno dobro konvergentne. Vrste, ki bi bile divergentne so zelo redke. V letu 1922 je ruski matematik Andrej Nikolajevič Kolmogorov (1903 – 1987) v enem svojih del podal primer integrabilne funkcije, katere Fourierjeva vrsta je skoraj povsod divergentna.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]