1 − 2 + 3 − 4 + · · ·

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Prvih tisoč členov in delne vsote vrste 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·

1 − 2 + 3 − 4 + · · · je neskončna vrsta, katere členi so zaporedna cela števila z alternirajočimi predznaki. Z znakom za vsoto lahko vsoto prvih m členov vrste zapišemo kot:

 \sum_{n=1}^m n(-1)^{n-1} \!\, .

Vrsta je divergentna, kar pomeni, da zaporedje delnih vsot (1, −1, 2, −2, …) ne konvergira proti končni limiti. Prav tako 1 − 2 + 3 − 4 + · · · nima vsote.

Kljub temu je Euler sredi 18. stoletja zapisal enačbo (za katero je priznal, da je paradoksalna):

 1-2+3-4+\cdots=\frac{1}{4} \!\, .

Strog matematični dokaz za to trditev se je pojavil šele veliko kasneje. Okoli leta 1890 so Cesàro, Borel in drugi začeli raziskovati metode za določitev vsot divergentnim vrstam. Več teh metod zlahka pripiše vrsti 1 − 2 + 3 − 4 + · · · »vsoto« 14. Cesàrova vsota je ena redkih metod, ki vrste 1 − 2 + 3 − 4 + · · · ne sešteje, zato je vrsta zgled, kjer je treba uporabiti močnejšo metodo, Abelovo vsoto.

Vrsta 1 − 2 + 3 − 4 + · · · je sorodna Grandijevi vrsti 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·. Euler ju je obavnaval kot posebna primera vrste 1 − 2n + 3n − 4n + · · · za poljuben n. Raziskave so s časom pripeljale do funkcij, ki ju danes poznamo kot Riemannovo funkcijo ζ(·) in Dirichletovo funkcijo η(·).

Divergenca[uredi | uredi kodo]

Členi vrste (1, −2, 3, −4, …) se ne približujejo 0, zato 1 − 2 + 3 − 4 + · · · divergira po kriteriju s členi. Za kasnejšo analizo bo koristno videti divergenco na osnovnem nivoju. Po definiciji je divergenca ali konvergenca neskončne vrste podana kot divergenca ali konvergenca zaporedja delnih vsot. Delne vsote vrste 1 − 2 + 3 − 4 + · · · so:[1]

1 = 1,
1 − 2 = −1,
1 − 2 + 3 = 2,
1 − 2 + 3 − 4 = −2,
1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3,
1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3,

Zanimivo je opaziti, da zaporedje zavzame vsako celo število natanko enkrat (tudi ničlo, če jo štejemo kot ničto delno vsoto) in tako pokaže, da je množica celih števil \mathbb{Z} števna.[2] Očitno se ne ustali pri nobenem specifičnem številu, zato vrsta 1 − 2 + 3 − 4 + · · · divergira.

Hevristični pristop k seštevanju[uredi | uredi kodo]

Najenostavnejši pristop za povezavo vrste 1 − 2 + 3 − 4 + · · · z vrednostjo 14 je uporaba ugotovitev, ki jih dobimo pri analizi vrste 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·.

Stabilnost in linearnost[uredi | uredi kodo]

Ker členi 1, −2, 3, −4, 5, −6… sledijo enostavnemu vzorcu, se lahko vrsto 1 − 2 + 3 − 4 + · · · izrazi samo s sabo in iz enačbe dobi numerično vrednost. Predpostavimo za trenutek, da se da vsoto zapisati kot s = 1 − 2 + 3 − 4 + · · · za neko število s. Pokazati hočemo, da je s = 14:

Dodajanje štirih kopij vrste 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·, s tem da uporabljamo samo premike in dodajanje šlenov, da vsoto 1.
s  = 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·
= (1 − 1 + 1 − 1 + · · · ) + (0 − 1 + 2 − 3 + · · · )
= hs,

kjer je h »vsota« vrste

h  = 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·
= 1 − (1 − 1 + 1 − · · · )
= 1 − h.

Če rešimo enačbi h = 1 − h in s = hs, dobimo h = 12 in s = (12)h = 14.[3] Enako lahko enačbe preuredimo tako, da dajo (s + s) + (s + s) = h + h = 1, iz česar spet sledi s = 14; ta oblika je upodobljena na sliki.

Čeprav vrsta 1 − 2 + 3 − 4 + · · · nima klasične vsote, lahko enačbi s = 1 − 2 + 3 − 4 + · · · = 14 damo drug pomen. Posplošena definicija »vsote« divergentnih vrst se imenuje sumacijska ali seštevalna metoda. Obstaja več različnih metod, od katerih jih je nekaj omenjeno spodaj. Dejansko je dokazano naslednje: Za poljubno seštevalno metodo, ki je linearna in stabilna, če da vsoto 1 − 1 + 1 − 1 + · · · in 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·, potem morata biti vsoti 12 in 14.[4]

Zgornji pristop omeji možne vrednosti za posplošene vsote 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·, vendar ne razkrije katera metoda bo ali ne bo seštela vsote na prvem mestu. Dejansko nekatere linearne in stabilne seštevalne metode, kot je navadno seštevanje, ne dajo vsote 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·. Drugačni pogled na vsoto pomaga določiti katera metoda da 14: izraženo kot produkt.

Cauchyjev produkt[uredi | uredi kodo]

Leta 1891 je Cesàro izrazil upanje, da se da divergentne vrste matematično obravnati. Rekel je: »Že zdaj zapišemo (1 − 1 + 1 − 1 + · · ·)2 = 1 − 2 + 3 − 4 + · · · in rečemo, da sta obe strani enaki 1/4.«[5] Za Cesàra je bila ta enačba uporaba izreka, ki ga je objavil leto prej in ga lahko imamo za prvi izrek iz zgodovine obravnavanja divergentnih vsot. Podrobnosti so v razdelku spodaj. Glavna zamisel je, da je 1 − 2 + 3 − 4 + · · · Cauchyjev produkt vrste 1 − 1 + 1 − 1 + · · · z 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·.

1 − 2 + 3 − 4 + · · · kot dvojni Cauchyjev produkt 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·

Cauchyjev produkt dveh neskončnih vrst je definiran tudi, ko sta obe divergentni. Če je Σan = Σbn = Σ(−1)n, so členi produkta podani s končnimi diagonalnimi vsotami.

 \begin{array}{rcl}
c_n & = &\displaystyle \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}=\sum_{k=0}^n (-1)^k (-1)^{n-k} \\[1em]
  & = &\displaystyle \sum_{k=0}^n (-1)^n  = (-1)^n(n+1).
\end{array}

Produkt vrste je potem:

 \sum_{n=0}^\infty(-1)^n(n+1) = 1-2+3-4+\cdots .

Veliko seštevalnih metod upošteva Cauchyjev produkt na tak ali drugačen način. Za metode, kjer ima 1 − 1 + 1 − 1 + · · · posplošeno vsoto 12, je ustrezna posplošena vsota 1 − 2 + 3 − 4 + · · · enaka (12)2 = 14. Cesàrov izrek je primer tega, ker se 1 − 1 + 1 − 1 + · · · (C, 1) sešteje v 12, se 1 − 2 + 3 − 4 + · · · (C, 3) v 14.[6] V resnici je to še nekoliko boljše, 1 − 2 + 3 − 4 + · · · se sešteje tudi (C, 2) čeprav se ne sešteje po (C, 1).

Posamezne metode[uredi | uredi kodo]

Cesàro in Hölder[uredi | uredi kodo]

(H, 2) vsota, ki je 1/4

Da bi dobili (C, 1) Cesàrovo vsoto vrste 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·, če ta obstaja, moramo računati aritmetične sredine delnih vsot. Delne vsote so:

1, −1, 2, −2, 3, −3, …,

aritmetične sredine pa:

1, 0, 23, 0, 35, 0, 47, ….

Ker ta vrsta ne konvergira, vrsta 1 − 2 + 3 − 4 + · · · nima Cesàrove vsote.

Za Cesàrove vsote imamo dve posplošitvi: pojmovno precej preprostejše od teh so metode zaporedja (H, n) za naravna števila n. (H, 1) vsota je Cesàrova in višje metode ponavljajo računanje delnih vsot. Zgoraj delne vsote konvergirajo k 12, medtem ko so lihe delne vsote vse enake 0, tako da delne vsote delnih vsot konvergirajo srednji vrednosti med 0 in 12, namreč 14.[7] Tako je 1 − 2 + 3 − 4 + · · · (H, 2) seštevna k 14.

Oznaka »H« se nanaša na Hölderja, ki je leta 1882 prvi dokazal to kar imajo sedaj matematiki za povezavo med Abelovo vsoto in (H, n) vsoto; 1 − 2 + 3 − 4 + · · · je bila njegov prvi primer.[8] Dejstvo, da je 14 (H, 2) vsota od 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·, zagotavlja da je tudi Abelova vsota - kar bo pokazano neposredno spodaj.

Druga splošna formulirana posplošitev Cesàrove vsote so metode z zaporedjem (C, n). Pokazali so da vsote (C, n) in (H, n) vedno dajo enake rezultate, vendar imajo različno zgodovinsko ozadje. Leta 1887 je Cesàro prišel blizu definicije vsote (C, n), vendar je podal le nekaj primerov. Še posebej je seštel 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·, v 14 z metodo, ki jo lahko vidimo kot (C, n), vendar kot takšna tedaj ni bila upravičena. Formalno je definiral metode (C, n) leta 1890 da bi podal svoj izrek, da je Cauchyjev produkt vsot (C, n) in (C, m), ki se dajo sešteti, enak vsoti, (C, m + n + 1), ki se da tudi sešteti.[9]

Abelova vsota[uredi | uredi kodo]

Nekaj delnih vsot 1−2x+3x2+···; 1/(1 + x)2; in limit v 1

V spisu iz leta 1749 je Euler priznal, da je vrsta divergentna, vendar se je vseeno odločil, da jo bo poskusil sešteti:

…ko rečemo, da je vsota vrste 1−2+3−4+5−6 itd. 1/4, se to zdi paradoksalno. Ker, če seštejemo prvih 100 členov vrste, dobimo –50, ko prištejemo naslednji člen, 101, dobimo +51. To je precej različno od 1/4 in se še povečuje z dodajanjem členov. Vendar pa sem že zadnjič opazil, da je treba pojmu vsota dati razširjen pomen...[10]

Euler je večkrat predlagal razširjen pomen pojmu vsota. V primeru vrste 1 − 2 + 3 − 4 + · · · so bile njegove ideje podobne temu, kar danes imenujemo Abelova vsota. :

…ni nič bolj dvomljivo da je vsota te vrste 1−2+3−4+5 + itd. enaka 1/4; ker izhaja iz razvoja enačbe 1(1+1)2, katere vrednost je neizpodbitno enaka 1/4. Zamisel postane jasnejša, če vzamemo splošno vrsto 1 − 2x + 3x2 − 4x3 + 5x4 − 6x5 + &c., ki izhaja iz razvoja izraza 1(1+x)2, katere vsota je za x = 1 res enaka.[11]

To lahko vidimo na več načinov. Euler ima prav vsaj za absolutne vrednosti |x| < 1, ker je:

 1-2x+3x^2-4x^3+\cdots = \frac{1}{(1+x)^2} \!\, .

Lahko tvorimo Taylorjevo vrsto desne strani ali pa uporabimo formalni proces dolgega deljenja za polinome. Če začnemo na levi strani, lahko sledimo splošni hevristični poti in poskusimo dvakrat množiti z (1+x) ali pa kvadriramo geometrično vrsto 1 − x + x2 − · · ·. Euler je kot izgleda predlagal odvod zadnje vrste členoma.[12]

V sodobnejšem pogledu vrsta 1 − 2x + 3x2 − 4x3 + · · · ne definira funkcije v x = 1,, tako da vrednosti ne moremo preprosto zamenjati v nastali izraz. Ker je funkcija definirana za vse |x| < 1,, lahko izračunamo limito, ko se x približuje 1, in to je definicija Abelove vsote:

 \lim_{x\rightarrow 1^{-}}\sum_{n=1}^\infty n(-x)^{n-1} = \lim_{x\rightarrow 1^{-}}\frac{1}{(1+x)^2} = \frac14 \!\, .

Euler in Borel[uredi | uredi kodo]

Eulerjeva vsota k 1214

Euler je na vsoti uporabi drug postopek, Eulerjevo transformacijo, ki jo je sam iznašel. Za izračun Eulerjeve transformacije začnemo z zaporedjem pozitivnih členov, ki tvori alternirajočo vrsto, v tem primeru 1, 2, 3, 4, …. Prvi člen zaporedja je označen z a0.

Nato potrebujemo zaporedje napredujoče razlike med 1, 2, 3, 4, …; kar je 1, 1, 1, 1, …. Prvi člen tega zaporedja je označen z Δa0. Eulerjeva transformacija je odvisna razlik razlik in iteracij višjega reda, vendar so vse napredujoče razlike med 1, 1, 1, 1, … enake 0. Eulerjeva transformacija 1 − 2 + 3 − 4 + · · · se potem določi kot

 \frac12 a_0-\frac14\Delta a_0 +\frac18\Delta^2 a_0 -\cdots = \frac12-\frac14 \!\, .

V sodobni terminologiji rečemo da ima 1 − 2 + 3 − 4 + · · · Eulerjevo vsoto enako 14.

Eulerjeva sumabilnost pomeni tudi drugo vrsto sumabilnosti. Če zapišemo 1 − 2 + 3 − 4 + · · · kot:

 \sum_{k=0}^\infty a_k = \sum_{k=0}^\infty(-1)^k(k+1) \!\, ,

imamo sorodno vrsto, ki je povsod konvergentna:

 a(x) = \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k(k+1)x^k}{k!} = e^{-x}(1-x) \!\, .

Borelova vsota 1 − 2 + 3 − 4 + · · · je zato:[13]

 \int_0^\infty e^{-x}a(x)\, \mathrm{d} x = \int_0^\infty e^{-2x}(1-x)\, \mathrm{d} x = \frac12-\frac14 \!\, .

Ločitev skal[uredi | uredi kodo]

Saichev in Woyczyński sta dobila 1 − 2 + 3 − 4 + · · · = 14 le z uporabo dveh fizikalnih načel: infinitezimalne relaksacije in ločitve skal. Ti načeli sta ju vodili do opredelitve široke družine »φ-sumacijskih metod«, ki vse dajo vsoto 14:

  • če je φ(x) funkcija, katere prvi in drugi odvod sta zvezna in integrabilna v (0, ∞), tako da je φ(0) = 1, in da sta limiti φ(x) in xφ(x) v +∞ obe enaki 0, potem velja:[14]
 \lim_{\delta\downarrow0}\sum_{m=0}^\infty (-1)^m(m+1)\varphi(\delta m) = \frac14 \!\, .

Ta rezultat posploši Abelovo vsoto, ki jo preoblečemo z φ(x) = exp(−x). Splošno izjavo lahko dokažemo z združevanjem v pare po členih v vsoti čez m in spremenimo izraz v Riemannov integral. Za zadnji korak se v odgovarjajočem dokazu za 1 − 1 + 1 − 1 + · · · pojavi izrek o povprečni vrednosti, vendar je potrebna močnejša Lagrangeeva oblika Taylorjevega izreka.

Posplošitev[uredi | uredi kodo]

Euler je podobne vrste sešteval leta 1755 v delu Institutiones

Trikratni Cauchyjev produkt vrste 1 − 1 + 1 − 1 + · · · je 1 − 3 + 6 − 10 + · · ·, izmenično zaporedje trikotniških števil z Abelovo in Eulerjevo vsoto 18.[15]. Štirikratni Cauchyjev produkt je 1 − 4 + 10 − 20 + · · ·, izmenično zaporedje kvadratnih števil z Abelovo vsoto 116.

Nekoliko drugačna možnost posplošitve vrste 1 − 2 + 3 − 4 + · · · je vrsta 1 − 2n + 3n − 4n + · · · za različne vrednosti n. Za pozitivne n imajo te vrste naslednje Abelove vsote:[16]

 1-2^{n}+3^{n}-\cdots = \frac{2^{n+1}-1}{n+1}B_{n+1} \!\, ,

kjer so Bn Bernoullijeva števila. Za lihe n se to reducira na

 1-2^{2k}+3^{2k}-\cdots = 0 \!\, .

Ta zadnja vsota je leta 1826 postala tarča Abelovega posmeha:

 »Divergentne vrste so na splošno hudičevo delo in grozno je, da si kdo upa poiskati kakršenkoli dokaz v zvezi z njimi. Če jih uporabljamo, lahko dobimo iz njih karkoli in povzročile so toliko nesreče in paradoksov. Si lahko kdo predstavlja kaj bolj žaljivega od trditve, da je
0 = 1 − 2n + 3n − 4n + itd.
kjer je n pozitivno število. Prijatelji, smejte se.«[17]

Cesàrov učitelj, Catalan, je prav tako preziral divergentne vrste. Pod Catalanovim vplivom je Cesàro na začetku »običajne enačbe« za 1 − 2n + 3n − 4n + · · · poimenoval kot »absurdne enakosti« in leta 1883 je povzel tipično mnenje tistega časa, namreč, da so enačbe napačne, vendar vseeno nekako formalno uporabne. Končno pa je leta 1890 v delu Sur la multiplication des séries privzel sodobni pristop, ki se začne z definicijami.[18]

Vrsta se raziskuje tudi za nenegativne vrednosti n, ki dajo Dirichletovo funkcijo η. Del Eulerjevega zanimanja za raziskovanje vrste, povezane z 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·, je bila funkcijska enačba funkcije η, ki neposredno vodi do funkcijske enačbe Riemannove funkcije ζ. Euler je že postal znan po iskanju vrednosti te funkcije za pozitivna soda cela števila (vključno z Baselskim problemom), in je poskušal najti tudi vrednosti za pozitivna liha cela števila (npr. Apéryjeva konstanta), problem, ki se izmika še danes. Posebej je funkcijo η lažje obravnavati z Eulerjevo metodo, ker ima njena Dirichletova vrsta povsod Abelovo vsoto; Dirichletovo vrsto funkcije ζ pa je težje seštevati kjer divergira.[19] Protiprimer 1 − 2 + 3 − 4 + · · · v funkciji ζ je nealternirajoča vrsta 1 + 2 + 3 + 4 + · · ·, ki se uporablja v sodobni fiziki, vendar za vsoto zahteva močnejše metode.

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ Hardy p.8
  2. ^ Beals p.23
  3. ^ Hardy (p.6) prikaže te izpeljave z dodatnim korakom za s.
  4. ^ Hardy, p.6.
  5. ^ Ferraro, p.130.
  6. ^ Hardy, p.3; Weidlich, pp.52–55.
  7. ^ Hardy, p.9. Za celotne podrobnosti računanja, glej Weidlich, pp.17–18.
  8. ^ Ferraro, p.118; Tucciarone, p.10. Ferraro kritizira Tucciaroneovo razlago (p.7) kako je Hölder sam mislil o splošnem rezultatu, vendar sta razlagi obeh avtorjev o Hölderjevi obravnavi 1 − 2 + 3 − 4 + · · · podobni.
  9. ^ Ferraro, str. 123–128.
  10. ^ Euler et al, p.2. Although the paper was written in 1749, it was not published until 1768.
  11. ^ Euler idr, str. 3, 25.
  12. ^ Lavine (str. 23) na primer predlaga dolgo deljenje, vendar ga ne izvede; Vretblad (str. 231) izračuna Cauchyjev produkt. Eulerjev predlog je nerazločen; glej Euler idr, str. 3, 26. John Baez predlaga celo kategorično-teoretično metodo, ki vključuje množenje točkovnih množic in kvantni harmonični oscilator. Baez, John Carlos Euler's Proof That 1 + 2 + 3 + . . . = 1/12 (PDF). math.ucr.edu (19. december 2003). Pridobljeno 2007-03-11.
  13. ^ Weidlich str. 59
  14. ^ Saichev in Woyczyński, str. 260–264.
  15. ^ Kline, p.313.
  16. ^ Knopp, p.491; verjetno je na tem mestu napaka v Hardy, str. 3.
  17. ^ Grattan-Guinness, p.80. Glej Markushevich, str. 48, za različni prevod iz izvirnika v francoščini; ton ostaja enak.
  18. ^ Ferraro, str. 120–128.
  19. ^ Euler idr, str. 20–25.

Viri[uredi | uredi kodo]

  • Beals, Richard (2004). Analysis: an introduction. Cambridge UP. ISBN 0-521-60047-2. 
  • Davis, Harry F. (maj 1989). Fourier Series and Orthogonal Functions. Dover. ISBN 0-486-65973-9. 
  • Euler, Leonhard; Lucas Willis; Thomas J Osler (2006). "Translation with notes of Euler's paper: Remarks on a beautiful relation between direct as well as reciprocal power series". The Euler Archive. Pridobljeno dne 2007-03-22.  Originally published as Euler, Leonhard (1768). "Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques". Memoires de l'academie des sciences de Berlin 17: 83–106. 
  • Ferraro, Giovanni (junij 1999). "The First Modern Definition of the Sum of a Divergent Series: An Aspect of the Rise of 20th Century Mathematics". Archive for History of Exact Sciences 54 (2): 101–135. doi:10.1007/s004070050036. 
  • Grattan-Guinness, Ivor (1970). The development of the foundations of mathematical analysis from Euler to Riemann. MIT Press. ISBN 0-262-07034-0. 
  • Hardy, Godfrey Harold (1949). Divergent Series. Clarendon Press. Predloga:LCCN. 
  • Kline, Morris (november 1983). "Euler and Infinite Series". Mathematics Magazine 56 (5): 307–314. 
  • Lavine, Shaughan (1994). Understanding the Infinite. Harvard UP. ISBN 0674920961. 
  • Markushevich, A.I. (1967). Series: fundamental concepts with historical exposition (English translation of 3rd revised edition (1961) in Russian izd.). Hindustan Pub. Corp. Predloga:LCCN. 
  • Saichev, A.I.; Woyczyński, W.A. (1996). Distributions in the physical and engineering sciences, Volume 1. Birkhaüser. ISBN 0-8176-3924-1. 
  • Tucciarone, John (januar 1973). "The development of the theory of summable divergent series from 1880 to 1925". Archive for History of Exact Sciences 10 (1-2): 1–40. doi:10.1007/BF00343405. 
  • Vretblad, Anders (2003). Fourier Analysis and Its Applications. Springer. ISBN 0387008365. 
  • Weidlich, John E. (junij 1950). Summability methods for divergent series. Stanford M.S. theses. OCLC 38624384.