Nerešeni matematični problemi

Seznam vsebuje nekatere trenutno še nerešene matematične probleme.

Problemi za Milenijsko nagrado

Od sedmih problemov za Milenijsko nagrado, ki jih je postavil Clayjev matematični inštitut, je rešen samo en.

• P proti NP
• Hodgeova domneva
• Riemannova domneva
• Yang-Millsov obstoj in primankljaj mase
• obstoj in gladkost Navier-Stokesove enačbe
• Birch in Swinnerton-Dyerova domneva

Drugi še vedno nerešeni problemi

Aditivna teorija števil

• Goldbachova domneva (Landauov 1. problem) in njena šibka različica
• vrednosti g(k) in G(k) v Waringovemu problemu
• Collatzova domneva (domneva 3n + 1)
• Gilbreathova domneva

Teorija števil: praštevila

• Landauovi problemi
  • domneva praštevislkih dvojčkov; Landauov 2. problem
  • Legendrova domneva; Landauov 3. problem
• neskončno mnogo praštevilskih četverčkov
• neskončno mnogo Mersennovih praštevil (Lenstra-Pomerance-Wagstaffova domneva; enakovredno, neskončno mnogo popolnih števil
• neskončno mnogo regularnih števil, ali je njihova gostota $e^{-^1\!/_2}$
• neskončno mnogo Cullenovih praštevil (OEIS A050920)
• neskončno mnogo Woodallovih praštevil (OEIS A050918)
• neskončno mnogo palindromnih praštevil v osnovi 10
• neskončno mnogo Fibonaccijevih praštevil
• domneva Bunjakovskega
  • neskončno mnogo praštevil oblike $(n-1)^{2}=n^{2}+1\!\,$; Landauov 4. problem (OEIS A002496)
• ali je vsako Fermatovo število sestavljeno za $n > 4$?
• problem Sierpińskega: ali je 78.557 najmanjše število Sierpińskega?
• ali je 509.203 najmanjše Rieslovo število?
• ali obstaja kakšno sestavljeno ugodno število?
• de Polignacova domneva
• ali se vsako praštevilo pojavi v Evklid-Mullinovem zaporedju?
• ali obrat Wolstenholmejevega izreka velja za vsa naravna števila?

Splošna teorija števil

• domneva abc
• obstoj lihih popolnih števil
• obstoj navidezno popolnih števil
• obstoj lihih čudnih števil
• dokaz, da je 196 najmanjše število Lychrelove
• dokaz, da je 10 osamljeno število
• rešitev problema s srečnim koncem za poljubno število n
• obstoj Taxicab(5, 2, n) za n > 1.
• Littlewoodova domneva
• domneva štirih eksponentov
• Erdős-Strausova domneva
• ali so vsi členi Sylvestrovega zaporedja deljivi brez kvadrata?
• Hermitov problem (Hermite, 1848)

Ramseyjeva teorija

• vrednosti Ramseyjevih števil, še posebno R(5,5)
• vrednosti Van der Waerdnovih števil

Splošna algebra

• Hilbertov šestnajsti problem
• Hadamardova domneva
• obstoj popolnih kvadrov

Kombinatorika

• število magičnih kvadratov (OEIS A006052)
• najti enačbo, da dva po naključju izbrana elementa povzročita grupo simetrij $S_{n}$

Teorija grafov

• Erdős-Gyárfásova domneva
• problem izomorfizma grafa
• Hadwiger–Nelsonov problem o raznovrstnih številih enotne razdalje grafov
• izpeljava izraza zaprte oblike za vrednosti precejanj meja, še posebno $p_c$ (kvadratna stran)

Analiza

• Schanuelova domneva
• Lehmerjeva domneva
• Pompeiujev problem
• ali je $\gamma$ (Euler-Mascheronijeva konstanta) iracionalna?

Teorija grup

• ali je zaključena periodična grupa končna (zaključena)?
• obrnjeni Galoisov problem

Drugi

• problem posplošene višine zvezde
• problem nespremenljivega podprostora
• modeliranje spojitvenih točk črne luknje
• problemi v latinskih kvadratih

Starejši in nedavno rešeni problemi

• problem Gromova o vozelskih zvitjih (Pardon, 2011)
• krožni zakon (Tao in Vu, 2010)
• Hirscheva domneva (najava protiprimera Francisco Santos Leal, maj 2010)
• Serreova domneva o modularnosti (Chandrashekhar Khare in Jean-Pierre Wintenberger, 2008)
• Eulerjeva enačba četrte stopnje (Daniel J. Madden in Lee W. Jacobi, marec 2008)
• Problem Minkowskega v Riemannovem prostoru. (Andrei I. Bodrenko, 2007)
• domneva barvanja cest (Trahtman, september 2007)
• problem angela (več neodvisnih dokazov, 2006)
• Green-Taojev izrek (Green in Tao, 2004)
• Stanley-Wilfova domneva (Tardos in Marcus, 2004)
• Cameron-Erdőseva domneva (Green, 2003)
• Poincaréjeva domneva (Perelmanova rešitev v letu 2002 potrjena)
• Catalanova domneva (Mihăilescu, 2002)
• Katova domneva (Auscher, Hofmann, Lacey in Tchamitchian, 2001)
• Langlandov program za funkcijske obsege (Lafforgue, 1999)
• Tanijama-Šimurova domneva (Wiles, Breuil, Conrad, Diamond in Taylor, 1999)
• Keplerjeva domneva (Hales, 1998)
• Friedlander-Iwaniecov izrek (Friedlander in Iwaniec, 1997)
• Milnorjeva domneva (Vojevodski, 1996)
• Fermatov veliki izrek (Wiles, 1994)
• Bieberbachova domneva (de Branges, 1985)
• izrek štirih barv (Appel in Haken, 1977)
• Tijdemanov izrek (Tijdeman, 1976)
• univerzalnost funkcij ζ (Voronin, 1975)
• Hilbertov deseti problem (Matijasevič, 1970)
• Eulerjeva domneva (Lander in Parkin, 1966)
• Plateaujev problem (Douglas, 1930)
• Bertrandova domneva (Čebišov, 1850  / Ramanujan, 1919)

Navedki

 »Problemi so vredni napada,

z dokazi jim vrnemo napad.« — Piet Hein

Glej tudi

• Hilbertov triindvajseti problem
• časovni trak matematike

Viri in opombe

• Clay Institute Millennium Prize (v angleščini)
• Stran o nerešen8h problemih na MathWorld (v angleščini)
• Jörg Winkelmann, »Nekateri matematični problemi«. 9. marec 2006. (v angleščini)
• Seznam povezav do nerešenih matematičnih problemov, nagrad in raziskav. (v angleščini)