Eulerjeva domneva

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Eulerjeva domneva je v matematiki napačna domneva, povezana s Fermatovim velikim izrekom, ki jo je leta 1769 postavil Leonhard Euler. Nobena od diofantskih enačb oblike:

 x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = y^{3}
 x_{1}^{4} + x_{2}^{4} + x_{3}^{4} = y^{4}
 x_{1}^{5} + x_{2}^{5} + x_{3}^{5} + x_{4}^{5} = y^{5}
 \cdots
 x_{1}^{n} + x_{2}^{n} + ... + x_{n-1}^{n} = \sum_{i=1}^{n-1} x_{i}^{n} = y^{n} \!\,

nima nobene trivialne rešitve za celi n \ge 3. Za n=2 veljajo vsote kot so na primer pitagorejske trojice:

 x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = y^{2} \!\, .

Za n=3 velja na primer:

 3^{3} + 4^{3} + 5^{3} = 6^{3} \!\, ,
 1^{3} + 6^{3} + 8^{3} = 9^{3} \!\, .

6^{3} ali 9^{3} pa ne moremo zapisati kot vsoto dveh (3-1) tretjih potenc.

Trditev sta s pomočjo računalnika ovrgla leta 1966 Leon J. Lander in Thomas R. Parkin s protiprimerom z n=5:

 27^5 + 84^5 +110^5 + 133^5 = 144^5 \!\, .

Noam David Elkies je leta 1986 našel geometrijsko metodo za konstrukcijo neskončnega števila protiprimerov za primer n=4. Najmanjši protiprimer takšne homogene diofantske enačbe četrte stopnje za njegovo konstrukcijo je:

 2682440^{4} + 15365639^{4} + 18796760^{4} = 20615673^{4} \!\, .

Roger Frye iz podjetja Thinking Machines Corporation je dve leti kasneje 1988 našel najmanjši možni protiprimer za n=4 z neposrednim računalniškim iskanjem s konstrukcijo Elkiesovega tipa:

 95800^{4} + 217519^{4} + 414560^{4} = 422481^{4} \!\, .

Računalnik je enačbo računal 100 ur.

Protiprimeri za n\ge 6 niso znani.

Leta 1966 so Lander, Parkin in John L. Selfridge podali domnevo, da za vsak k>3, če velja:

 \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{k} = \sum_{j=1}^{m} y_{j}^{k} \!\, ,

kjer x_{i} \ne y_{j}, potem m+n\ge k .

Glej tudi[uredi | uredi kodo]