Eulerjeva domneva

Eulerjeva domneva je v matematiki napačna domneva, povezana s Fermatovim velikim izrekom, ki jo je leta 1769 postavil Leonhard Euler. Nobena od diofantskih enačb oblike:

$x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = y^{3}$

$x_{1}^{4} + x_{2}^{4} + x_{3}^{4} = y^{4}$

$x_{1}^{5} + x_{2}^{5} + x_{3}^{5} + x_{4}^{5} = y^{5}$

$\cdots$

$x_{1}^{n} + x_{2}^{n} + ... + x_{n-1}^{n} = \sum_{i=1}^{n-1} x_{i}^{n} = y^{n} \!\,$

nima nobene trivialne rešitve za celi $n \ge 3$. Za $n=2$ veljajo vsote kot so na primer pitagorejske trojice:

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = y^{2} \!\, .$

Za $n=3$ velja na primer:

$3^{3} + 4^{3} + 5^{3} = 6^{3} \!\, ,$

$1^{3} + 6^{3} + 8^{3} = 9^{3} \!\, .$

$6^{3}$ ali $9^{3}$ pa ne moremo zapisati kot vsoto dveh (3-1) tretjih potenc.

Trditev sta s pomočjo računalnika ovrgla leta 1966 Leon J. Lander in Thomas R. Parkin s protiprimerom z $n=5$:

$27^5 + 84^5 +110^5 + 133^5 = 144^5 \!\, .$

Noam David Elkies je leta 1986 našel geometrijsko metodo za konstrukcijo neskončnega števila protiprimerov za primer $n=4$. Najmanjši protiprimer takšne homogene diofantske enačbe četrte stopnje za njegovo konstrukcijo je:

$2682440^{4} + 15365639^{4} + 18796760^{4} = 20615673^{4} \!\, .$

Roger Frye iz podjetja Thinking Machines Corporation je dve leti kasneje 1988 našel najmanjši možni protiprimer za $n=4$ z neposrednim računalniškim iskanjem s konstrukcijo Elkiesovega tipa:

$95800^{4} + 217519^{4} + 414560^{4} = 422481^{4} \!\, .$

Računalnik je enačbo računal 100 ur.

Protiprimeri za $n\ge 6$ niso znani.

Leta 1966 so Lander, Parkin in John L. Selfridge podali domnevo, da za vsak $k>3$, če velja:

$\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{k} = \sum_{j=1}^{m} y_{j}^{k} \!\, ,$

kjer $x_{i} \ne y_{j}$, potem $m+n\ge k$.

Glej tudi

• Eulerjeva enačba četrte stopnje (Jacobi-Maddnova enačba)