Legendrova domneva

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Legendrova domnéva [ležándrova ~] je v teorija števil domneva, ki jo postavil Adrien-Marie Legendre (1752—1833), in pravi, da med dvema poljubnima zaporednima popolnima kvadratoma (med številoma n^{2}\, in (n+1)^{2}\, za vsako pozitivno celo število n (n > 0)) obstaja vsaj eno praštevilo p. Domneva je Landauov 3. problem (izvirno 4. problem, 1912), eden od štirih osnovnih problemov o praštevilih in ostaja odprti problem.[1]

Praštevilski izrek nakazuje, da je dejansko število praštevil med n^{2}\, in (n+1)^{2}\, (OEIS A014085) približno enako n/ln n, kar je približno enako vrednosti aritmetične funkcije številu praštevil \pi(n)\, manjših ali enakih številu n. Legendrova domneva enakovredno pravi, da velja:[2]:1

 \pi\left( (n+1)^{2}\right) - \pi(n^{2}) \ge 1; \quad n \in \N^{+} \!\, .

Če je Legendrova domneva pravilna, je vrzel med dvema zaporednima prašteviloma g_{n}\, enaka O(\sqrt p). Domneva dejansko izhaja iz Andricaove domneve in iz Oppermannove domneve. Harald Cramér je domneval, da je vrzel vedno veliko manjša in enaka O(\log^2 p). Če je Cramérjeva domneva pravilna, bi Legendrova domneva izhajala za vsa dovolj velika praštevila. Cramér je tudi dokazal, da Riemannova domneva za velikost največjih praštevilskih vrzeli nakazuje šibkejšo mejo O(\sqrt p\log p). Iz Legendrove domneve sledi, da je v vsakem zavoju Ulamovega prta vsaj eno praštevilo.

Ker Legenrova domneva sledi iz Andricaove domneve, je dovolj preveriti ali je vsaka praštevilska vrzel, ki se začne pri p, manjša od 2\sqrt p. Razpredelnica največjih praštevilskih vrzeli kaže, da je Legendrova domneva pravilna za vsa števila manjša od 1018.[3] Protiprimer blizu 1018 bi zahteval praštevilsko vrzel 50 milijonkrat večjo od povprečne vrzeli. Matomäki je pokazal, da obstaja največ x^{1/6} izjemnih praštevil, ki sledijo vrzelim večjim od \sqrt{2p}, oziroma posebej:[4]

 \sum_{\stackrel{p_{n+1}-p_n>x^{1/2}}{x\le p_n\le 2x}}p_{n+1}-p_n\ll x^{2/3}.

Ingham je leta 1937 pokazal, da obstaja praštevilo p med n^{3}\, in (n+1)^{3}\, za dovolj velik n.[5]

Najmanjša praštevila med n^{2}\, in (n+1)^{2}\, za n > 0 so (OEIS A007491):

2, 5, 11, 17, 29, 37, 53, 67, 83, 101, 127, 149, 173, 197, 227, 257, 293, ...

Kitajski matematik Čen Džing Ran (1933—1996) je leta 1975 dokazal malo šibkejšo različico domneve: med n^{2}\, in (n+1)^{2}\, obstaja vsaj eno praštevilo p ali vsaj eno polpraštevilo pq, kjer je q praštevilo različno od p.[6][7]:1 Velja še naprej, da med n\, in n+n^{\theta}\, vedno obstaja praštevilo, če je \theta = 21/40\, , oziroma:[1]

 \pi\left( n+n^{\theta}\right) - \pi(n) \gg \frac{n^{\theta}}{\log n}  \!\, .

Mnogi matematiki menijo, da se lahko Legendrova domneva reši s pomočjo aritmetične funkcije  \pi (n)\, , saj na ta način izhaja iz Bertrandove domneve, ki je dokazana (Čebišov (1850), Landau (1909),[8][9] Ramanujan (1919)). Bertrandova domneva navaja, da velja podobno:

 \pi\left( 2n\right) - \pi(n) \ge 1; \quad n \in \N^{+} \!\, ,

oziroma, med n\, in 2n\, je vsaj eno praštevilo. To je posplošitev praštevilskega izreka. Posledica Bertrandove domneve je, da se lahko poljubno pozitivno celo število zapiše kot vsota praštevil in števila 1, kjer so praštevila med seboj različna. Hašimoto je s pomočjo teorije grup pokazal na povezavo med Bertrandovo domnevo in Legendrovo domnevo. Z naraščajočo frekvenco matematiki dokazujejo obstoj praštevil znotraj določenga obsega števil.[2] Pri dokazovanju Legendrove domneve na primer matematična indukcija ne pride v poštev, saj porazdelitev praštevil ni določena s kakšno posebno značilnostjo, oziroma ni znana.[10]

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Sklici[uredi | uredi kodo]

Viri[uredi | uredi kodo]

  • Andersen, Jens Kruse (2012-02-24). "Maximal Prime Gaps" (v angleščini). Pridobljeno dne 2013-06-08. 
  • Čen, Džing Ran (1975). "On the Distribution of Almost Primes in an Interval". Scientia Sinica 18: 611–627. 
  • El Bachraoui, M. (2006). "Primes in the Interval [2n,3n]". International Journal of Contemporary Mathematical Sciences 1 (3): 617–621. 
  • Ghusayni, Badih (2012). "Subsets of Prime Numbers". International Journal of Mathematics and Computer Science 7 (2): 101–112. 
  • Goswami, Ankush (2012-11-26). Proof of Legendre's Conjecture. arXiv:1211.6046. 
  • Guedes, Edigles Bezerra (2013-02-03). "An Elementary Proof of Legendre’s Conjecture" (PDF) (v angleščini). viXra:1303.0048. Pridobljeno dne 2013-06-07. 
  • Hašimoto, Cutomu (2008-07). On a certain relation between Legendre's conjecture and Bertrand's postulate. arXiv:0807.3690. 
  • Ingham, Albert Edward (1937). "On the difference between consecutive primes". Quarterly Journal of Mathematics Oxford 8 (1): 255–266. doi:10.1093/qmath/os-8.1.255. 
  • Kintali, Shiva (2008-11-26). Towards Proving Legendre's Conjecture. arXiv:0811.4451. 
  • Landau, Edmund (1909). Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen. Leipzig: Teubner. 
  • Matomäki, Kaisa (2007). "Large differences between consecutive primes". Quarterly Journal of Mathematics 58: 489–518. 
  • Mendribil, John. "A Discussion on Legendre’s Conjecture" (v angleščini). Pridobljeno dne 2013-06-08. 
  • Pintz, János (2009). "Landau's problems on primes" (PDF) (v angleščini). Pridobljeno dne 2013-06-08. 
  • Tan,  Shan-Guang (2011-10). On the representation of even numbers as the sum and difference of two primes and the representation of odd numbers as the sum of an odd prime and an even semiprime and the distribution of primes in short intervals. arXiv:1110.3465. 
  • Toloza, Jonas Castillo (2013-04-18). New conjectures in number theory - The distribution of prime numbers. arXiv:1304.5262. 

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]