Fermatovo praštevilo

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Fermatovo praštevilo je število oblike:

$F_{n} \equiv 2^{2^{ \overset{n} {}}} + 1 ,$

$2^{2^n}+1 ,$

kjer je n naravno število se imenujejo Fermatova števila. Fermat je nepravilno domneval, da so vsa takšna števila praštevila, čeprav ni imel dokaza. Prvih pet Fermatovih števil 3, 5, 17, 257, 65537, ki odgovarjajo n = 0, 1, 2, 3, 4, so vsa praštevila. Euler je prvi leta 1732 dokazal, da ta Fermatova domneva ne velja, in pokazal kako je število 641 delitelj Fermatovega števila, saj je:

$F_{5} = 2^{2^5} + 1 = 2^{32} + 1 = 4294967297 = 641 \cdot 6700417 \; .$

V bistvu ne poznamo nobenega Fermatovega števila za n > 4, ki bi bilo praštevilo in tako domnevamo, da so to tudi vsa praštevila te oblike. Ne vemo tudi ali obstaja neskončno mnogo Fermatovih praštevil. Prva Fermatova števila so (OEIS A000215):

F₀ = 2¹ + 1 = 3

F₁ = 2² + 1 = 5

F₂ = 2⁴ + 1 = 17

F₃ = 2⁸ + 1 = 257

F₄ = 2¹⁶ + 1 = 65537

F₅ = 2³² + 1 = 4294967297 = 641 · 6700417

F₆ = 2⁶⁴ + 1 = 18446744073709551617 = 274177 · 67280421310721

F₇ = 2¹²⁸ + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 · 5704689200685129054721

F₈ = 2²⁵⁶ + 1 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 = 1238926361552897 · 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321

Poznamo le razcep prvih 12 Fermatovih števil.

Gauss je dokazal, da lahko vsak pravilni mnogokotnik z m oglišči konstruiramo samo z ravnilom in šestilom tedaj in le tedaj, kadar lahko zapišemo m kot:

m = 2^k F_r1 F_r2 ... F_rt,

kjer je k ≥ 0 in so drugi množitelji (faktorji) poljubna praštevila zgornje oblike Fermatovega števila F_n.

[uredi] Osnovne lastnosti

Za Fermatova števila veljajo naslednje rekurenčne enačbe:

$F_{n} = (F_{n-1}-1)^{2}+1 \,$

$F_{n} = F_{n-1} + 2^{2^{n-1}}F_{0} \cdots F_{n-2} \,$

$F_{n} = F_{n-1}^2 - 2(F_{n-2}-1)^2 \,$

$F_{n} = F_{0} \cdots F_{n-1} + 2 \,$

za n ≥ 2. Vse enačbe lahko dokažemo s popolno indukcijo. Iz zadnje enačbe sledi Goldbachov izrek: nobeni dve Fermatovi števili nimata skupnega faktorja, oziroma različna Fermatova števila so si med seboj tuja.

[uredi] Glej tudi

[uredi] Zunanje povezave

Posplošen iskalnik Fermatovih praštevil (v angleščini)
Fermatova praštevila (v angleščini)

Fermatovo praštevilo

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

[uredi] Osnovne lastnosti

[uredi] Glej tudi

[uredi] Zunanje povezave

Pogled

Osebna orodja

Navigacija

občestvo

podpora

Iskanje

Pripomočki

V drugih jezikih