Eugène Charles Catalan

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Eugène Charles Catalan
Eugene charles catalan.jpg
Eugène Charles Catalan

Eugène Charles Catalan, belgijski matematik, * 30. maj 1814, Brugge (Bruges), Belgija, † 14. februar 1894, Liege, Belgija.

Življenje in delo[uredi | uredi kodo]

Catalan je študiral na École Polytechnique skupaj z Liovillejem, leta 1833 se je izpisal, leta 1834 odšel v Châlons-sur-Marne in leta 1835 dokončal študij. Z Liovillejevo pomočjo je leta 1838 dobil učiteljsko mesto za opisno geometrijo na École Polytechnique. Deloval je tudi na političnem področju.

Največ je objavljal s področja teorije števil, verižnih ulomkov, opisne geometrije in kombinatorike. Leta 1838 je določil števila, ki se imenujejo po njem Catalanova števila, pri reševanju problema načina delitve sklenjenih konveksnih mnogokotnikov na trikotnike z diagonalami, ki se ne sekajo med seboj. Prvi je rešil problem Segner, čeprav njegova rešitev ni bila tako lepa kot Catalanova. Tudi Euler se je kot Binet ukvarjal s poenostavitvijo tega problema skoraj istočasno kot Catalan. Zaporedje Catalanovih števil je določeno neposredno z binomskimi koeficienti:

 C_n = {1\over n+1} {2n \choose n} = {(2n)!\over n! \; (n+1)!} \qquad\mbox{ za } n\ge 0 \; ,

Med drugim Catalanova števila določajo število načinov delitve mnogokotnikov z n + 2 stranicami na n trikotnikov, število načinov postavitve oklepajev v zaporedju števil, ki jih množimo po dva skupaj, število korenskih, trivalentnih dreves z n + 1 točkami in število poti dolžine 2n skozi kvadratno mrežo m × m, ki se ne dvignejo preko glavne diagonale. Catalanova števila so v tesni zvezi s Pascalovim aritmetičnim trikotnikom binomskih koeficientov {n \choose r} oziroma s Pascalovo matriko:

 
\begin{bmatrix} 
 \underline{1}&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\
 1&\underline{2}&3&4&5&6&7&8&9&10\\
 1&3&\underline{6}&10&15&21&28&36&45&55\\
 1&4&10&\underline{20}&35&56&84&120&165&220\\
 1&5&15&35&\underline{70}&126&210&330&495&715\\
 1&6&21&56&126&\underline{252}&462&792&1287&2002\\
 1&7&28&84&210&462&\underline{924}&1716&3003&5005\\
 1&8&36&120&330&792&1716&\underline{3432}&6435&11440\\
 1&9&45&165&495&1287&3003&6435&\underline{12870}&24310\\
 1&10&55&220&715&2002&5005&11440&24310&\underline{48620}
\end{bmatrix} \; .

Števila središčne diagonale Pascalove matrike so določena z:

 {2n \choose n} \; ,

števila na sosednjih diagonalah pa z:

 {1\over n+1} {2n \choose n+1}\; .

Razlike števil obeh diagonal dajo Catalanova števila:

n\;\, {2n \choose n} {2n \choose n+1} C_n\;\,
0 1 0 1
1 2 1 1
2 6 4 2
3 20 15 5
4 70 56 14
5 252 210 42
6 924 792 132
7 3432 3003 429
8 12870 11440 1430
9 48620 43758 4862
10 184756 167960 16796
11 705432 646646 58786
12 2704156 2496144 208012
13 10400600 9657700 742900
14 40116600 37442160 2674440
15 155117520 145422675 9694845
16 601080390 565722720 35357670
17 2333606220 2203961430 129644790
18 9075135300 8597496600 477638700
19 35345263800 33578000610 1767263190
20 137846528820 131282408400 6564120420
21 538257874440 513791607420 24466267020

Uvedel je Catalanovo konstanto določeno z vrsto:

 C_{a} \equiv G = \sum_{i=0}^\infty (-1)^i (2i + 1)^{-2} = \beta(2) \cong 0,915965594 \!\, ,

kjer je \beta(2) Dirichletova funkcija β. Leta 1844 je objavil Catalanovo domnevo. V opisni geometriji je uvedel periodično minimalno površino v prostoru \mathbb{R}^3, ki jo je odkril leta 1855.

Izbrana dela[uredi | uredi kodo]

  • Elements de géométrie» (1843 in 1867),
  • Traité élémentaire de géométrie descriptive (1852 in 1879),
  • Traité élémentaire des series (1860),
  • Cours d’analyse de l’Université de Liège (1870 in 1879),
  • Recherches sur quelques produits infinis (1873),
  • Sur des Formules relatives aux intégrales eulériennes (1885),
  • Manuel de mécanique (1887).

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]