Catalanova konstanta

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Catalanova konstanta (oznaki G ali C_{a}) je v matematiki konstanta, ki se včasih pojavi pri ocenah v kombinatoriki. Določena je kot vsota alternirajoče vrste:

 G = \beta(2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}} = \frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{5^{2}} - \frac{1}{7^{2}} + \cdots \!\, ,

kjer je β Dirichletova funkcija β. Njena številska desetiška vrednost je približno:

 G = 0,915\, 965\, 594\, 177\, 219\, 015\, 054\, 603\, 514\, 932\, 384\, 110\, 774\ldots

Ni znano ali je G racionalno ali iracionalno število. Imenuje se po Eugèneu Charlesu Catalanu.

Integralski izrazi[uredi | uredi kodo]

Konstanto lahko zapišemo z določenimi integrali:

 G = -\int_{0}^{1} \frac{\ln(t)}{1 + t^2} \, \mathrm{d} t \!\, ,
 G = \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1+x^2 y^2} \, \mathrm{d} x\, \mathrm{d} y \!\, ,
 G = \int_{0}^{\pi/4} \frac{t}{\sin(t) \cos(t)} \, \mathrm{d}t \!\, ,

in na primer z:

 G = \tfrac12\int_0^1 \mathrm{K}(x)\, \mathrm{d} x \!\, ,

kjer je K(x) popolni eliptični integral 1. vrste, ter z:

 G = \int_0^1 \frac{\arctan x}{x}\, \mathrm{d} x \!\, .

Uporaba[uredi | uredi kodo]

G se pojavlja v kombinatoriki, v vrednostih druge funkcije poligama, imenovane tudi funkcija trigama, pri argumentih z ulomki:

 \psi_{1}\left(\frac{1}{4}\right) = \pi^2 + 8G \!\, ,
 \psi_{1}\left(\frac{3}{4}\right) = \pi^2 - 8G \!\, .

Simon Plouffe je podal neskončno zbirko izrazov med funkcijo trigama, \pi^2 in Catalanovo konstanto. Lahko se jih izrazi kot poti v grafu.

Konstanta se pojavlja tudi v povezavi s hiperbolično sekantno porazdelitvijo.

Hitro konvergentne vrste[uredi | uredi kodo]

Naslednji formuli predstavljata hitro konvergentni vrsti, in sta primerni za računanje vrednosti konstante:

G = \, 3 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{4n}}
\left(
-\frac{1}{2(8n+2)^2}
+\frac{1}{2^2(8n+3)^2}
-\frac{1}{2^3(8n+5)^2}
+\frac{1}{2^3(8n+6)^2}
-\frac{1}{2^4(8n+7)^2}
+\frac{1}{2(8n+1)^2}
\right) -

2 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{12n}}
\left(
\frac{1}{2^4(8n+2)^2}
+\frac{1}{2^6(8n+3)^2}
-\frac{1}{2^9(8n+5)^2}
-\frac{1}{2^{10} (8n+6)^2}
-\frac{1}{2^{12} (8n+7)^2}
+\frac{1}{2^3(8n+1)^2}
\right)

in:

 G = \frac{\pi}{8} \log(\sqrt{3} + 2) + \tfrac38 \sum_{n=0}^\infty \frac{(n!)^2}{(2n)!(2n+1)^2} \!\, .

Teoretične osnove za takšne vrste je dal Broadhurst.[1]

Znane števke[uredi | uredi kodo]

Število znanih števk Catalanove konstante G se je v zadnjih desetletjih zelo povečalo. Vzrok temu je povečanje zmogljivosti računalnikov kot tudi izboljšave algoritmov.[2]

Število znanih desetiških števk Catalanove konstante G
datum desetiške števke avtor
1877 20 James W. L. Glaisher
1913 32 James W. L. Glaisher
1990 20.000 Greg J. Fee
1996 50.000 Greg J. Fee
14. avgust 1996 100.000 Greg J. Fee & Simon Plouffe
29. september 1996 300.000 Thomas Papanikolaou
1996 1.500.000 Thomas Papanikolaou
1997 3.379.957 Patrick Demichel
4. januar 1998 12.500.000 Xavier Gourdon
2001 100.000.500 Xavier Gourdon & Pascal Sebah
2002 201.000.000 Xavier Gourdon & Pascal Sebah
oktober 2006 5.000.000.000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo[3]
avgust 2008 10.000.000.000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo[4]
31. januar 2009 15.510.000.000 Alexander J. Yee & Raymond Chan[5]
16. april 2009 31.026.000.000 Alexander J. Yee & Raymond Chan[5]

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

Viri[uredi | uredi kodo]