Dirichletova funkcija beta

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Graf Dirichletove funkcije beta y(x)=\beta(x) na intervalu [−8, 8]

Dirichletova funkcija beta \beta(s) (tudi Catalanova funkcija beta) je v matematiki specialna funkcija, tesno povezana z Riemannovo funkcijo ζ. Je posebni primer Dirichletove L-funkcije, L-funkcije z alternirajočim karakterjem periode 4.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Dirichletova funkcija β je definirana kot alternirajoča vrsta:

 \beta(s) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}} {(2n+1)^{s}} \!\, ,

ali enakovredno kot:

 \beta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}\frac{x^{s-1}e^{-x}}{1 + e^{-2x}}\,dx \!\, ,

kjer je \Gamma(s) funkcija gama. V obeh primerih je \Re(s)>0.

S pomočjo Hurwitzeve funkcije ζ je Dirichletova funkcija β določena kot:

 \beta(s) = \frac{1}{4^{s}} \left[ \zeta\left( s, \frac{1}{4}\right)-\zeta\left( s, \frac{3}{4}\right) \right] \!\, ,

na celi kompleksni ravnini-s.

Z Lerchevim transcendentom je določena kot:

 \beta(s) = \frac{\Phi\left(-1,s,{\frac{1}{2}}\right)}{2^{s}} \!\, ,

ki spet velja za vse kompleksne vrednosti s.

Funkcijska enačba[uredi | uredi kodo]

Funkcijska enačba razširi Dirichletovo funkcijo β na levo stran kompleksne ravnine \Re(s)<0. Dana je z:

 \beta(s)=\left(\frac{\pi}{2}\right)^{s-1} \Gamma(1-s) \cos \frac{\pi s}{2}\,\beta(1-s) \!\, .

Posebne vrednosti Dirichletove funkcije β[uredi | uredi kodo]

Nekatere najpogosteje rabljene vrednosti Dirichletove funkcije β so:

 \beta(0)= \frac{1}{2} \!\, ,
 \beta(1)\;=\;\tan^{-1}(1)\;=\;\frac{\pi}{4} \!\, ,
 \beta(2)\;=\;G \!\, ; Catalanova konstanta,
 \beta(3)\;=\;\frac{\pi^3}{32} \!\, ,
 \beta(4)\;=\;\frac{1}{768} \left[ \psi_3\left( \frac{1}{4} \right) -8\pi^4 \right] \!\, ,
 \beta(5)\;=\;\frac{5\pi^5}{1536} \!\, ,
 \beta(7)\;=\;\frac{61\pi^7}{184320} \!\, ,

kjer je zgoraj \psi_3(1/4) zgled funkcije poligama.

Euler je pokazal, da je v splošnem za lihe s, \beta(s) racionalni mnogokratnik \pi^{s}, torej za poljubno pozitivno celo število k:

 \beta(2k+1)={{{({-1})^k}{E_{2k}}{\pi^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k)!}} \!\, ,

kjer so  \!\ E_{n} Eulerjeva števila. Za celo število k ≥ 0 velja:

 \beta(-k)=\frac{E_{k}}{2} \!\, ,

oziroma:

 \beta(-2k)=\frac{E_{2k}}{2} \!\, ,

Funkcija je tako enaka nič za vse lihe negativne celoštevilske vrednosti argumenta:

 \beta(-2k-1) = 0 \!\, .
s približne vrednosti β(s) OEIS
1/5 0,5737108471859466493572665
1/4 0,5907230564424947318659591
1/3 0,6178550888488520660725389
1/2 0,6676914571896091766586909 A195103
1 0,7853981633974483096156608 A003881
2 0,9159655941772190150546035 2A006752
3 0,9689461462593693804836348 2A153071
4 0,9889445517411053361084226 2A175572
5 0,9961578280770880640063194 2A175571
6 0,9986852222184381354416008 2A175570
7 0,9995545078905399094963465
8 0,9998499902468296563380671
9 0,9999496841872200898213589
10 0,9999831640261968774055407

Tanguy Rivoal in Vadim Zudilin sta dokazala, da je vsaj eno od sedmih števil: \beta(2), \beta(4), \beta(6), \beta(8), \beta(10), \beta(12) ali \beta(14) iracionalno.[1]

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

Viri[uredi | uredi kodo]