Hurwitzeva funkcija zeta

Barvna predstavitev Hurwitzeve funkcije $\zeta (s,q)\,$ za $q=1/3\,$ v kompleksni ravnini. Barva točke odkriva vrednost funkcije. Temnejše barve označujejo vrednosti blizu nič, odtenek pa argument vrednosti. Ustvarjena je s tiskalniško knjižnico matplotlib z različico metode domenskega barvanja.

Hurwitzeva funkcija zeta (običajna označba $\zeta (s,q)\,$, včasih tudi $\zeta _{\rm {H}}(s,q)\,$) je v matematiki in še posebej v analitični teoriji števil ena od mnogih funkcij ζ. Imenuje se po nemškem matematiku Adolfu Hurwitzu.

Formalno je definirana za kompleksna argumenta $s$ in $q$ kot:

$\zeta (s,q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(q+n)^{s}}},\qquad (\Re (s)>1,\Re (q)>0)\!\,.$

Ta neskončna vrsta je absolutno konvergentna za dane vrednosti $s$ in $q$. Lahko se razširi na meromorfno funkcijo definirano za vse $s\neq 1\,$. Riemannova funkcija ζ je posebni primer za $q=1\,$:

$\zeta (s)=\zeta (s,1)\!\,.$

Funkcija trigama je posebni primer za $s=2\,$:

$\psi _{1}(z)=\zeta (2,z)\!\,.$