Funkcija gama

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Graf funkcije Γ na realni premici
Razširjena različica funkcije Γ v kompleksni ravnini

Fúnkcija gáma je v matematiki specialna funkcija, ki razširja pojem fakultete na kompleksna števila. Zapisa se je domislil Adrien-Marie Legendre, funkcijo samo pa je uvedel Leonhard Euler. Če je realni del kompleksnega števila z pozitiven, potem integral:

 \Gamma(z) = \int_0^\infty  t^{z-1}\,e^{-t}\, \mathrm{d} t \!\,

konvergira absolutno. Z integracijo po delih je moč pokazati, da velja:

 \Gamma(z+1)=z\Gamma(z) \!\, .

Ker je Γ(1) = 1, odtod sledi:

 \Gamma(n+1) = n! \!\,

za vsa naravna števila n. Z analitičnim nadaljevanjem je moč razširiti Γ(z) v meromorfno funkcijo definirano za vsa kompleksna števila z razen z = 0, −1, −2, −3, ..., kjer ima pol. Funkcija gama se imenuje ta razširjena različica.

Funkcija gama nima ničel. Morda najbolj znana vrednost funkcije gama pri necelih številih je:

 \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi} \!\, .

Funkcija gama ima pol reda 1 pri z = −n za vsako naravno število n; residuum je tam podan kot:

 \operatorname{Res}(\Gamma,-n) = \frac{(-1)^n}{n!} \!\, .

Naslednja multiplikativna oblika funkcije gama velja za vsa kompleksna števila z, ki niso nepozitivna cela števila:

 \Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n} \!\, .

Tu je γ Euler-Mascheronijeva konstanta.

Iz funkcionalne enačbe lahko izpeljemo:

 \begin{align}
\Gamma\left( x\right) & =\frac{\Gamma\left( x+1\right)}{x}=\frac{\Gamma\left( x+2\right)}{x\left( x+1\right) }=\ldots \\
                      & = \frac{\Gamma\left( x+k+1\right)}{x\left( x+1\right) \left( x+2\right) \ldots \left( x+k\right) } \!\, , 
\end{align}

od koder sledi, da ima funkcija pri negativnih celih argumentih in pri argumentu enakem 0 pole lihe stopnje.

Posebne vrednosti funkcije Γ[uredi | uredi kodo]


\begin{array}{lll}
\Gamma(-3/2) &= \frac {4\sqrt{\pi}} {3} &\approx 2,363 \\
\Gamma(-1/2) &= -2\sqrt{\pi} &\approx -3,545 \\
\Gamma(1/2) &= \sqrt{\pi} &\approx 1,772 \\
\Gamma(1) &= 0! &= 1 \\
\Gamma(3/2) &= \frac {\sqrt{\pi}} {2} &\approx 0,886 \\
\Gamma(2) &= 1! &= 1 \\
\Gamma(5/2) &= \frac {3 \sqrt{\pi}} {4} &\approx 1,329 \\
\Gamma(3) &= 2! &= 2 \\
\Gamma(7/2) &= \frac {15\sqrt{\pi}} {8} &\approx 3,323 \\
\Gamma(4) &= 3! &= 6 \\
\end{array}

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]