Izrek o povprečni vrednosti

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Za vsako funkcijo, ki je zvezna na [ab] in odvedljiva na (ab), obstaja neka točka c na odprtem intervalu (ab), da je sekanta, ki povezuje obe končni točki intervala [ab], vzporedna tangenti v c.

Izrèk o povpréčni vrédnosti (tudi Lagrangeev izrèk ali izrèk o kônčnem prirástku fúnkcije) je v matematični analizi izrek, ki pravi, da v danem odseku gladke krivulje obstaja točka, v kateri je odvod (nagib) krivulje enak »povprečnemu« odvodu intervala. Izrek se uporablja pri dokazovanju izrekov, ki obravnavajo funkcije na intervalu.

Povprečna vrednost integrabilne funkcije na intervalu [a,b] je število:

P = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)\,dx.

Izrek lahko razumemo tudi s pomočjo gibanja. Če avtomobil prepotuje v eni uri 100 km in je njegova povprečna hitrost enaka 100 km/h, potem je morala biti v nekem trenutku njegova trenutna hitrost enaka natačno 100 km/h.

Izrek je prvi razvil Joseph-Louis de Lagrange in se imenuje tudi po njem.

Formalna izjava[uredi | uredi kodo]

Naj je funkcija y=f(x) v zaprtem intervalu [a,b] zvezna in v odprtem intervalu (a,b) odvedljiva. Tedaj obstaja vsaj eno takšno število \xi med a in b, da je:

 {f(b)-f(a)\over b-a} = f'(\xi) \qquad a<\xi<b \; .

Če pišemo drugače, b=a+h in označimo s \vartheta število med 0 in 1:

 f(a+h) = f(a) + h f'(a+\vartheta h) \qquad 0<\vartheta < 1 \; .

Posplošitev Lagrangeevega izreka je Taylorjev izrek.

Dokaz[uredi | uredi kodo]