Alternacija (geometrija)

Alternacija (tudi delna prisekanost in prirezanost ali snubifikacija) je v geometriji postopek, ki se izvaja nad poliedri ali tlakovanji. Ta postopek odstrani vsako drugo oglišče. Alternacijo se lahko torej izvede samo na poliedrih, ki imajo sodo število oglišč. Takšen primer so zonoedri. Vsaka 2n-stranska stranska ploskev postane n stranska. Kvadratne stranske ploskve izginejo v nove robove.

Sam postopek alternacije je alterniranje.

Alternacijo pravilnega poliedra ali tlakovanja se včasih označuje s pravilno obliko tako, da se spredaj doda h (iz besede half, ki pomeni polovico). Zgled: oznaka h{4, 3} pomeni alternirano kocko, ki kreira tetraeder. Alternirano kvadratno tlakovanje pa se označi s h{4, 4}.

Snub (snubifikacija, prirezanost)[uredi | uredi kodo]

Snub (prirezanost/potlačenost, snubifikacija) je podobna operacija. To je alternacija uporabljena na omniprisekanem pravilnem poliedru. Omniprisekani pravilni polieder ali tlakovanje ima vedno sodo število stranic in tako se vedno lahko izvede alternacijo.

Zgled je prirezana kocka, ki se jo dobi v dveh korakih. Najprej se izvede omniprisekanost in se dobimo veliki rombikubooktaeder. Nato se polieder z alternacijo pretvori v prirezano kocko.

Naslednji zgled je pravilna antiprizma. Uniformno n-kotno antiprizmo se lahko dobi iz alternirane 2n-kotniške prizme in prirezanega hozoedra z n robovi. V primeru prizem sta obe alternirani obliki enaki.

Alternira se lahko tudi zonoedre. Kot zgled se lahko navede rombski triakontaeder, ki se ga z operacijo snub pretvori v ikozaeder ali dodekaeder, kar je odvisno od izbire odstranjenih oglišč.

Zgledi[uredi | uredi kodo]

Generatorji platonskih teles[uredi | uredi kodo]

Tri oblike: pravilna → omniprisekana → prirezana.

Dani so tudi Coxeter-Dinkinovi diagrami. Omniprisekanost deluje pri vseh zrcalih (obkroženo). Alternacija je prikazana s praznimi obroči.

simetrija (p q 2)	pravilni	omniprisekani	prirezana oblika
tetraedrska (3 3 2)	tetraeder	prisekani oktaeder	ikozaeder (prirezani tetraeder)
oktaedrska (4 3 2)	kocka	prisekani kubooktaeder	prirezana kocka
ikozaedrska (5 3 2)	dodekaeder	prisekani ikozidodekaeder	prirezani dodekaeder

Generatorji pravilnega tlakovanja[uredi | uredi kodo]

simetrija (p q 2)	pravilni	omniprisekani	prirezana oblika
kvadratno (4 4 2)	(4.4.4.4)	(4.8.8)	(3.3.4.3.4)
šestkotno (6 3 2)	(6.6.6)	(3.4.6.4)	3.3.3.3.6

Generatorji uniformnih prizem[uredi | uredi kodo]

Za prizme se lahko uporabi izmenična prirezavanja. (kvadratna antiprizma se lahko imenuje hozoeder, kot tudi alternirana osemstrana prizma.)

Dva koraka: 2n-strana prizma → n-strana antiprizma.

kvadratna prizma → digonalna antiprizma (ali polkocka)
- →
šeststrana prizma → tristrana antiprizma
- →
osemstrana prizma → kvadratna antiprizma
- →
desetkotna prizma → petstrana antiprizma
- →
....

Izmenična prisekavanja[uredi | uredi kodo]

Podobni postopki prisekajo izmenjujoča se oglišča in ne samo, da jih odstranijo. V nadaljevanju je našteta množica poliedrov, ki se jih lahko generira iz Catalanovih teles. Ta imajo dve vrsti oglišč, ki se jih lahko izmenoma priseka. Prisekavanje oglišč »višjega reda« in obeh tipov oglišč ustvarja naslednje oblike:

ime	izvirno telo	prisekano telo	polna prisekanost	ime prisekanosti
kocka dual rektificiranega tetraedra				alternirano prisekana kocka
rombski dodekaeder dual kubooktaedra				prisekani rombski dodekaeder
rombski triakontaeder dual ikozidodekaedra				prisekani rombski triakontaeder
triakisni tetraeder dual prisekanega tetraedra				prisekani triakisni tetraeder
triakisni oktaeder dual prisekane kocke				prisekani triakisni oktaeder
triakisni ikozaeder dual prisekanega dodekaedra				prisekani triakisni ikozaeder

Višje razsežnosti[uredi | uredi kodo]

Alternacijo se lahko izvede tudi za višjerazsežne politope in satovja. Večina oblik nima splošne rešitve. Praznine, ki pri tem nastanejo, ne kreirajo uniformnih facet. Zgledi: