Funkcija generiranja momentov

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Funkcija generiranja momentov je v teoriji verjetnosti in statistiki nam za poljubno slučajno spremenljivko (zvezno ali nezvezno) pomaga določiti verjetnostno porazdelitev. Označujemo jo s g(t) \!. S pomočjo te funkcije lahko na enostaven način izračunamo momente.

Funkcija generiranja momentov nam na drugi način (običajno celo enostavnejši) omogoča določanje funkcije gostote verjetnosti in zbirne funkcije verjetnosti. S pomočjo funkcije generiranja momentov je enostavneje določiti funkcijo gostote verjetnosti ali zbirno funkcijo verjetnosti pri tistih porazdelitvah, ki imajo zelo komplicirano funkcijo porazdelitve.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Za diskretne (nezvezne) slučajne spremenljivke je funkcija generiranja momentov enaka:

\ g(t) = \mbox{E}[e^{tX}] = \sum_{i=1}^{n} p_{i} e^{tX_{i}}

Za zvezne slučajne spremenljivke:

\ g(t) = \mbox{E}[e^{tX}] = \int_{-\infty}^{\infty} e^{tx}f_{X}(x)dx.

kjer je

Računanje momentov[uredi | uredi kodo]

Posamezne momente lahko izračunamo na naslednji način:

\ \mu_{1} = \frac{dg}{dt}|_{t=0}=g'(0)
\ \mu_{2} = \frac{d^{2}g}{dt^{2}}|_{t=0}=g''(0)
\ \ldots

oziroma

E \left( X^n \right) = g_X^{(n)}(0) = \frac{d^n g_X}{dt^n}(0).

Kadar funkcija obstoja za t = 0, potem nam omogoča generiranje momentov za verjetnostno porazdelitev. Zaradi tega se ta funkcija tudi imenuje funkcija generiranja momentov.

Povezava s kumulantami[uredi | uredi kodo]

Funkcijo generiranja momentov lahko napišemo kot:

g(t)=\log(E (e^{tX}))=\sum_{n=1}^\infty\kappa_n \frac{t^n}{n!}=\mu t + \sigma^2 \frac{ t^2}{2} + \cdots.

Posamezne kumulante dobimo na naslednji način:

\begin{align} \kappa_1 &= \mu = g'(0), \\
                     \kappa_2 &= \sigma^2 = g''(0), \\
                              &\vdots \\
                     \kappa_n &= g^{(n)}(0).
       \end{align}
 .

Povezava kumulant in momentov je naslednja:

\kappa_1=\mu_1\,
\kappa_2=\mu_2\,
\kappa_{3}=\mu_{3}\,
\kappa_{4}=\mu_{4}-3\mu_{2}^{2}\,
\kappa_{5}= \mu_{5}-10\mu_{2}\mu_{3}\,

Zgledi[uredi | uredi kodo]

porazdelitev funkcija generiranja momentov g(t) karakteristična funkcija φ(t)
binomska porazdelitev B(n, p)   \, (1-p+pe^t)^n   \, (1-p+pe^{it})^n
Poissonova porazdelitev Pois(λ)   \, e^{\lambda(e^t-1)}   \, e^{\lambda(e^{it}-1)}
zvezna enakomerna porazdelitev U(a, b)   \, \frac{e^{tb} - e^{ta}}{t(b-a)}   \, \frac{e^{itb} - e^{ita}}{it(b-a)}
normalna porazdelitev N(μ, σ2)   \, e^{t\mu + \frac{1}{2}\sigma^2t^2}   \, e^{it\mu - \frac{1}{2}\sigma^2t^2}
porazdelitev hi-kvadrat χ2k   \, (1 - 2t)^{-k/2}   \, (1 - 2it)^{-k/2}
porazdelitev gama Γ(k, θ)   \, (1 - t\theta)^{-k}   \, (1 - it\theta)^{-k}
eksponentna porazdelitev Exp(λ)   \, (1 - t\lambda^{-1})^{-1}   \, (1 - it\lambda^{-1})^{-1}
multivariantna normalna porazdelitev N(μ, Σ)   \, e^{t^\mathrm{T} \mu + \frac{1}{2} t^\mathrm{T} \Sigma t}   \, e^{i t^\mathrm{T} \mu - \frac{1}{2} t^\mathrm{T} \Sigma t}
izrojena porazdelitev δa   \, e^{ta}   \, e^{ita}
Laplaceova porazdelitev L(μ, b)   \, \frac{e^{t\mu}}{1 - b^2t^2}   \, \frac{e^{it\mu}}{1 + b^2t^2}
Cauchyjeva porazdelitev Cauchy(μ, θ) ni določena   \, e^{it\mu -\theta|t|}

Glej tudi[uredi | uredi kodo]