Zbirna funkcija verjetnosti

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Zbirna funkcija verjetnosti ali porazdelitvena funkcija (oznaka cdf iz cumulative distribution function) je v teoriji verjetnosti funkcija, ki opisuje verjetnostno porazdelitev realne slučajne spremenljivke X. Označujemo jo z \mathbf{F(x)}.

Za realno število je zbirna porazdelitvena funkcija določena z

x \mapsto F_X(x) = \operatorname{P}(X\leq x),

kjer \mathbf{X\leq x } pomeni verjetnost, da slučajna spremenljivka zavzame vrednost, ki je manjša ali enaka vrednosti x. Verjetnost, da slučajna spremenljivka leži v intervalu (a, b] je torej enaka

F_X(b)-F_X(a), če je a< b.

Z uporabo funkcije gostote verjetnosti f(t) \! lahko zapišemo

F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt.

Lastnosti pri diskretni spremenljivki[uredi | uredi kodo]

Če je X diskretna slučajna spremenljivka, ki lahko zavzame vrednosti x1, x2, x3, … z verjetnostmi p1 = P(x 1), potem ima funkcija nezveznosti v točkah xj in je konstantna med vrednostmi

F(x) = \operatorname{P}(X\leq x) = \sum_{x_i \leq x} \operatorname{P}(X = x_i) = \sum_{x_i \leq x} p(x_i).

Lastnosti pri zvezni sprememnljivki[uredi | uredi kodo]

Kadar je spremenljivka X zvezna slučajna spremenljivka je tudi F absolutno zvezna in obstoja po Lebesqueu integrabilna funkcija f(x) tako, da je

F(b)-F(a) = \operatorname{P}(a\leq X\leq b) = \int_a^b f(x)\,dx.

Verjetnost, da spremenljivka X zavzame točno vrednost b, se lahko določi z

\operatorname{P}(X=b) = F(b) - \lim_{x \to b^{-}} F(x)..