Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti ali porazdelitvena funkcija (oznaka cdf iz cumulative distribution function) je v teoriji verjetnosti funkcija, ki opisuje verjetnostno porazdelitev realne slučajne spremenljivke X. Označujemo jo z $\mathbf{F(x)}$.

Za realno število je zbirna porazdelitvena funkcija določena z

$x \mapsto F_X(x) = \operatorname{P}(X\leq x),$

kjer $\mathbf{X\leq x }$ pomeni verjetnost, da slučajna spremenljivka zavzame vrednost, ki je manjša ali enaka vrednosti x. Verjetnost, da slučajna spremenljivka leži v intervalu (a, b] je torej enaka

$F_X(b)-F_X(a)$, če je a< b.

Z uporabo funkcije gostote verjetnosti $f(t) \!$ lahko zapišemo

$F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt.$

Lastnosti pri diskretni spremenljivki

Če je X diskretna slučajna spremenljivka, ki lahko zavzame vrednosti x₁, x₂, x₃, … z verjetnostmi p₁ = P(x ₁), potem ima funkcija nezveznosti v točkah x_j in je konstantna med vrednostmi

$F(x) = \operatorname{P}(X\leq x) = \sum_{x_i \leq x} \operatorname{P}(X = x_i) = \sum_{x_i \leq x} p(x_i).$

Lastnosti pri zvezni sprememnljivki

Kadar je spremenljivka X zvezna slučajna spremenljivka je tudi F absolutno zvezna in obstoja po Lebesqueu integrabilna funkcija f(x) tako, da je

$F(b)-F(a) = \operatorname{P}(a\leq X\leq b) = \int_a^b f(x)\,dx$.

Verjetnost, da spremenljivka X zavzame točno vrednost b, se lahko določi z

$\operatorname{P}(X=b) = F(b) - \lim_{x \to b^{-}} F(x).$.