Eksponentna porazdelitev

Eksponentna porazdelitev
Funkcija gostote verjetnosti za eksponentno porazdelitev.
Zbirna funkcija verjetnosti za eksponentno porazdelitev.
oznaka	$Exp(\lambda) \!$
parametri	$\lambda > 0 \,$ parameter stopnje (obratna vrednost parametra merila) (realno število)
interval	$[0, \infty)\!$
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	$\lambda e^{-\lambda x}\!$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	$1 - e^{-\lambda x}\!$
pričakovana vrednost	$\frac{1}{\lambda}\,$
mediana	$\frac{\ln(2)}{\lambda}\,$
modus	$0\,$
varianca	$\frac{1}{\lambda^2}\,$
simetrija	$2\,$
sploščenost	$6\,$
entropija	$1 - \ln(\lambda)\,$
funkcija generiranja momentov (mgf)	$\left(1 - \frac{t}{\lambda}\right)^{-1}\,$
karakteristična funkcija	$\left(1 - \frac{it}{\lambda}\right)^{-1}\,$

Eksponentna porazdelitevje družina zveznih verjetnostnih porazdelitev. Opisuje časovne intervale med posameznimi dogodki v Poissonovi porazdelitvi. To so procesi, ki se enakomerno pojavljajo nepretrgoma in neodvisno.

Lastnosti

Funkcija gostote verjetnosti

Funkcija gostote verjetnosti za eksponentno porazdelitev je

$f(x;\lambda) = \left\{\begin{matrix} \lambda e^{-\lambda x}, &\; x \ge 0, \\ 0, &\; x < 0. \end{matrix}\right.$

kjer je

• $\lambda > 0 \!$ parameter porazdelitve, ki ga imenujemo parameter stopnje (obratna vrednost parametra merila).

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

$F(x;\lambda) = \left\{\begin{matrix} 1-e^{-\lambda x}, &\; x \ge 0, \\ 0, &\; x < 0. \end{matrix}\right.$

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je enaka

$\frac{1}{\lambda}\,$.

Varianca

Varianca je enaka

$\frac{1}{\lambda^2}\,$.

Sploščenost

Sploščenost je enaka $6\,$

Funkcija generiranja momentov

Funkcija generiranja momentov je

$\left(1 - \frac{t}{\lambda}\right)^{-1}\,$

Karakteristična funkcija

Karakteristična funkcija je

$\left(1 - \frac{it}{\lambda}\right)^{-1}\,$

Povezave z drugimi porazdelitvami

• Minimum neodvisnih slučajnih spremenljivk, ki so porazdeljene eksponentno, je tudi eksponentno porazdeljena slučajna spremenljivka. Naj bodo $X_1, \ldots, X_n\!$ neodvisne slučajne spremenljivke, za katere velja $X_i \sim \mathrm{Exp}(\lambda_i) \!$ in je $Y = \min\limits_{i=1,\ldots,n}(X_i) \!$ . Potem velja tudi : $Y \sim \mathrm{Exp}\left(\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i\right)$.
• Eksponentna porazdelitev je posebni primer porazdelitve gama

$\mathrm{Exp}(\lambda) \equiv \Gamma(1, 1/\lambda) \!$

• Vsota neodvisnih eksponentnih porazdelitev ima gama porazdelitev. Naj bodo $X_1, \ldots, X_n\!$ neodvisne slučajne spremenljivke za katere velja $X_i \sim \mathrm{Exp}(\lambda_i) \!$, potem velja tudi

$Y = \sum\limits_{i=1}^n X_i \sim \Gamma(n, \lambda) \!$.

• Eksponentna porazdelitev s parametrom $\lambda =1/2 \!$ je poseben primer porazdelitve hi-kvadrat

$\mathrm{Exp}(1/2) \equiv \chi^2(2) \!$.

• Za slučajno spremenljivko $Y \!$ za katero velja, da ima Weibullovo porazdelitev, lahko zapišemo $Y \sim \operatorname{Weibull}(\gamma, \lambda)$. Naj bo $Y = X^{1/\gamma}\,$. Slučajna spremenljivka $X \!$ naj ima pri tem eksponentno porazdelitev oziroma $X \sim \operatorname{Exp}(\lambda^{-\gamma})$. Velja tudi, da ima vsaka eksponentna porazdelitev tudi Weibullovo porazdelitev.
• Slučajna spremenljivka $Y \!$ naj ima Rayleighovo porazdelitev, kar lahko zapišemo kot $Y \sim \operatorname{Rayleigh}(\sigma)$. Pri tem naj bo $Y = \sqrt{2X\sigma^2\lambda}$. Slučajna spremenljivka $X \!$ pa naj ima eksponentno porazdelitev $X \sim \operatorname{Exp}(\lambda)$.

• Če ima slučajna spremenljivka $Y \!$ Gumbelovo porazdelitev, kar lahko zapišemo kot $Y \sim \operatorname{Gumbel}(\mu, \beta)$. Naj velja $Y = \mu - \beta \log(X/\lambda)\,$. Pri tem ima slučajna spremenljivka $X \!$ eksponentno porazdelitev ali $X \sim \operatorname{Exp}(\lambda)$.

• Slučajna spremenljivka $Y \!$ naj ima Laplaceovo porazdelitev, kar lahko zapišemo kot $Y \sim \operatorname{Laplace}$. Pri tem za dve eksponentno porazdeljeni neodvisni slučajni spremenljivki $X_1\,$ in $X_2\,$ velja $Y = X_1 - X_2\,$

Zunanje povezave

• Opis eksponentne porazdelitve na MathWorld (v angleščini)
• Eksponentna porazdelitev na Enginnering Statistics Handbook (v angleščini)

Glej tudi

• verjetnostna porazdelitev
• seznam verjetnostnih porazdelitev