Eksponentna porazdelitev

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Eksponentna porazdelitev
Funkcija gostote verjetnosti za eksponentno porazdelitev.
Zbirna funkcija verjetnosti za eksponentno porazdelitev.
oznaka Exp(\lambda) \!
parametri \lambda > 0 \,
parameter stopnje
(obratna vrednost parametra merila)
(realno število)
interval [0, \infty)\!
funkcija gostote verjetnosti
(pdf)
\lambda e^{-\lambda x}\!
zbirna funkcija verjetnosti
(cdf)
1 - e^{-\lambda x}\!
pričakovana vrednost \frac{1}{\lambda}\,
mediana \frac{\ln(2)}{\lambda}\,
modus 0\,
varianca \frac{1}{\lambda^2}\,
simetrija 2\,
sploščenost 6\,
entropija 1 - \ln(\lambda)\,
funkcija generiranja momentov
(mgf)
\left(1 - \frac{t}{\lambda}\right)^{-1}\,
karakteristična funkcija \left(1 - \frac{it}{\lambda}\right)^{-1}\,

Eksponentna porazdelitevje družina zveznih verjetnostnih porazdelitev. Opisuje časovne intervale med posameznimi dogodki v Poissonovi porazdelitvi. To so procesi, ki se enakomerno pojavljajo nepretrgoma in neodvisno.

Lastnosti[uredi | uredi kodo]

Funkcija gostote verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Funkcija gostote verjetnosti za eksponentno porazdelitev je


f(x;\lambda) = \left\{\begin{matrix}
\lambda e^{-\lambda x}, &\; x \ge 0, \\
0, &\; x < 0.
\end{matrix}\right.

kjer je

  •  \lambda > 0 \! parameter porazdelitve, ki ga imenujemo parameter stopnje (obratna vrednost parametra merila).

Zbirna funkcija verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka


F(x;\lambda) = \left\{\begin{matrix}
1-e^{-\lambda x}, &\; x \ge 0, \\
0, &\; x < 0.
\end{matrix}\right.

Pričakovana vrednost[uredi | uredi kodo]

Pričakovana vrednost je enaka

\frac{1}{\lambda}\,.

Varianca[uredi | uredi kodo]

Varianca je enaka

\frac{1}{\lambda^2}\,.

Sploščenost[uredi | uredi kodo]

Sploščenost je enaka 6\,

Funkcija generiranja momentov[uredi | uredi kodo]

Funkcija generiranja momentov je

\left(1 - \frac{t}{\lambda}\right)^{-1}\,

Karakteristična funkcija[uredi | uredi kodo]

Karakteristična funkcija je

\left(1 - \frac{it}{\lambda}\right)^{-1}\,

Povezave z drugimi porazdelitvami[uredi | uredi kodo]

  • Minimum neodvisnih slučajnih spremenljivk, ki so porazdeljene eksponentno, je tudi eksponentno porazdeljena slučajna spremenljivka. Naj bodo X_1, \ldots, X_n\! neodvisne slučajne spremenljivke, za katere velja X_i \sim \mathrm{Exp}(\lambda_i) \! in je  Y = \min\limits_{i=1,\ldots,n}(X_i) \! . Potem velja tudi :  Y \sim \mathrm{Exp}\left(\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i\right).
  • Eksponentna porazdelitev je posebni primer porazdelitve gama
\mathrm{Exp}(\lambda) \equiv \Gamma(1, 1/\lambda) \!
  • Vsota neodvisnih eksponentnih porazdelitev ima gama porazdelitev. Naj bodo X_1, \ldots, X_n\! neodvisne slučajne spremenljivke za katere velja X_i \sim \mathrm{Exp}(\lambda_i) \!, potem velja tudi
Y = \sum\limits_{i=1}^n X_i \sim \Gamma(n, \lambda) \!.
\mathrm{Exp}(1/2) \equiv \chi^2(2) \!.
  • Za slučajno spremenljivko Y \! za katero velja, da ima Weibullovo porazdelitev, lahko zapišemo Y \sim \operatorname{Weibull}(\gamma, \lambda). Naj bo Y = X^{1/\gamma}\,. Slučajna spremenljivka X \! naj ima pri tem eksponentno porazdelitev oziroma X \sim \operatorname{Exp}(\lambda^{-\gamma}). Velja tudi, da ima vsaka eksponentna porazdelitev tudi Weibullovo porazdelitev.
  • Slučajna spremenljivka Y \! naj ima Rayleighovo porazdelitev, kar lahko zapišemo kot Y \sim \operatorname{Rayleigh}(\sigma). Pri tem naj bo Y = \sqrt{2X\sigma^2\lambda}. Slučajna spremenljivka X \! pa naj ima eksponentno porazdelitev X \sim \operatorname{Exp}(\lambda).
  • Če ima slučajna spremenljivka Y \! Gumbelovo porazdelitev, kar lahko zapišemo kot Y \sim \operatorname{Gumbel}(\mu, \beta). Naj velja Y = \mu - \beta \log(X/\lambda)\,. Pri tem ima slučajna spremenljivka X \! eksponentno porazdelitev ali X \sim \operatorname{Exp}(\lambda).
  • Slučajna spremenljivka Y \! naj ima Laplaceovo porazdelitev, kar lahko zapišemo kot Y \sim \operatorname{Laplace}. Pri tem za dve eksponentno porazdeljeni neodvisni slučajni spremenljivki X_1\, in X_2\, velja Y = X_1 - X_2\,

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]

Glej tudi[uredi | uredi kodo]