Kumulanta

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Kumulanta n-tega reda slučajne spremenljivke X je v teoriji verjetnosti in statistiki določena z logaritmom funkcije, s pomočjo katere lahko generiramo momente porazdelitve. n-ti odvod je kumulanta n-tega reda. Kumulante se uporabljajo podobno kot momenti verjetnostne porazdelitve. Obe skupini vrednosti sta si po uporabi ekvivalentni. Je pa uporaba kumulant včasih bolj enostavna kot uporaba momentov. Kumulanto n-tega reda označimo s \mathbf{\kappa}n.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Funkcija, ki omogoča izračunavanje kumulant, se označuje z g(t):

g(t)=\log(E (e^{tX}))=\sum_{n=1}^\infty\kappa_n \frac{t^n}{n!}=\mu t + \sigma^2 \frac{ t^2}{2} + \cdots.

n-ti odvod funkcije g(t) je kumulanta n-tega razreda ali

\begin{align} \kappa_1 &= \mu = g'(0), \\
                     \kappa_2 &= \sigma^2 = g''(0), \\
                              &\vdots \\
                     \kappa_n &= g^{(n)}(0).
       \end{align}

Funkcijo je prvi uvedel danski astronom in matematik Thornwald Nicolai Thiele (1838 -1910).


Lastnosti[uredi | uredi kodo]

Invariantnost na premik:

  • \kappa_1(X + c) = \kappa_1(X) + c\,
  • \kappa_n(X + c) = \kappa_n(X)\, za n ≥ 2

kjer je c konstanta

Homogenost:

\kappa_n(cX) = c^n\kappa(X)\,

Aditivnost:

\kappa_n(X + Y) = \kappa_n(X) + \kappa_n(Y)\,

Kumulante kot funkcije momentov[uredi | uredi kodo]

Navedenih je nekaj povezav med momenti in kumulantami:

\kappa_1=m_1=\mu_1\,
\kappa_2=m_2-m_1^2=\mu_2\,
\kappa_{3}=m_{3}-2m_{2}m_{1}+2m_{1}^{3}=\mu_{3}\,
\kappa_{4}=m_{4}-4m_{3}m_{1}-3m_{2}^{2}+12m_{2}m_{1}^{2}-6m_{1}^{4}=\mu_{4}-3\mu_{2}^{2}\,
\kappa_{5}=m_{5}+5m_{1}(6m_{2}^{2}-m_{4})-10m_{3}m_{2}+20m_{3}m_{1}^{2}-60m_{2}m_{1}^{3}+24m_{1}^{5}=\mu_{5}-10\mu_{2}\mu_{3}\,

Kumulante nekaterih diskretnih porazdelitev[uredi | uredi kodo]

Izrojena porazdelitev (konstantna slučajna spremenljivka) pri kateri je X = 1. Zanjo velja g '(t) = 1. Prva kumulanta κ1 = 1, ostale kumulante κ2, κ3, … so nič.

Bernoullijeva porazdelitev Če je p = 1, potem velja, da imamo konstantno naključno spremenljivko z X = 1.
Odvod funkcije g(x) je enak g '(t) = ((p −1−1)•et + 1)−1.

Prvi dve kumulanti sta:

  • κ1 = g '(0) = p in
  • κ2 = g ' '(0) = p•(1 − p) .

Vsako naslednjo kumulanto lahko izračunamo iz obrazca

\kappa_{n+1}=p (1-p) \frac{d\kappa_n}{dp}.\,


Geometrična porazdelitev
Odvod funkcije g(x) je enak g '(t) = ((1 − p)−1•et − 1)−1.

Prvi kumulanti sta

  • κ1 = g '(0) = p−1 − 1,
  • κ2 = g ' '(0) = κ1p − 1.


Poissonova porazdelitev
Prvi odvod funkcije g(x) je enak g '(t) = μ•et.
Vse kumulante so enake: κ1 = κ2 = κ3 = ...= μ.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]