Bernoullijeva porazdelitev

Bernoullijeva porazdelitev je diskretna verjetnostna porazdelitev.

Imenuje se po švicarskem matematiku Jakobu Bernoulliju (1654 – 1705).

Definicija Bernoullijeve porazdelitve

Slučajna spremenljivka, ki jo obravnavamo po Bernoulijevi porazdelitvi, lahko zavzame samo dve vrednosti: Vrednost 1 z verjetnostjo p (uspešni izzid) in vrednost 0 (neuspešni izzid) z verjetnostjo q = p – 1, kar lahko zapišemo kot:

$\Pr(X=1) =\!$ $\; 1 - \Pr(X=0) =\!$ $1 - q = p.\!$

pri tem je X slučajna spremenljivka in $\mathbf{Pr}$ je verjetnost.

Funkcija verjetnosti se lahko zapiše kot  $f(k;p) = \left\{\begin{matrix} p & \mbox {če je }k=1, \\ 1-p & \mbox {če je } k=0, \\ 0 & \mbox {v ostalih primerih}\end{matrix}\right.$.
To lahko zapišemo tudi kot:

$f(k;p) = p^k (1-p)^{1-k} \!\, .$

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je enaka:

$E\left(X\right)=p \!\, .$

Varianca

Varianca v Bernoullijevi porazdelitvi je enaka:

$\sigma^2= p\left(1-p\right) \!\, .$

Koeficient simetrije

Koeficient simetrije je enak:

$\frac{q-p}{\sqrt{pq}} \!\, .$

Mediana

Mediane ne moremo določiti.

Sploščenost

Sploščenost je enaka:

$\frac{6p^2-6p+1}{p(1-p)} \!\, .$

Prehod na Poissonovo porazdelitev

Kadar gre število poskusov preko vseh mej: $n\to\infty$ ter s tem $p_{n}\to 0$ in velja: $\lim\limits_{n\to\infty}np_{n}=\lambda>0$, dobimo Poissonovo porazdelitev s parametrom λ.

Povezava z binomsko porazdelitvijo

Bernoullijeva porazdelitev je posebni primer binomske porazdelitve za n = 1.

Glej tudi

• verjetnostna porazdelitev
• seznam verjetnostnih porazdelitev
• Bernoullijev poskus