Poissonova porazdelitev

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Poissonova porazdelitev
Plot of the Poisson PMF
Funkcija verjetnosti za Poissonovo porazdelitev
Na abscisni osi (vodoravna) so vrednosti k.
Funkcija je določena samo za cela števila k.
Povezovalne črte samo pomagajo pri predstavi poteka funkcije.
Plot of the Poisson CDF
Zbirna funkcija verjetnosti za Poissonovo porazdelitev
Na abscisni osi (vodoravna) so vrednosti k.
Funkcija je nezvezna za cela števila k
in ravna povsod drugod.
oznaka Pois (\lambda) \!
parametri \lambda \in (0,\infty)
interval k \in \{0,1,2,\ldots\}
funkcija verjetnosti
(pdf)
\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}\!
zbirna funkcija verjetnosti
(cdf)
\frac{\Gamma(\lfloor k+1\rfloor, \lambda)}{\lfloor k\rfloor !}\! za k\ge 0
ali e^{-\lambda} \sum_{i=0}^{k} \frac{\lambda^i}{i!}\
pričakovana vrednost \lambda\,\!
mediana \approx\lfloor\lambda+1/3-0.02/\lambda\rfloor
modus \lfloor\lambda\rfloor
in \lambda-1 \!, če je \lambda celo število
varianca \lambda\,\!
simetrija \lambda^{-1/2}\,
sploščenost \lambda^{-1}\,
entropija \lambda[1\!-\!\log(\lambda)]\!+\!e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k\log(k!)}{k!}


oziroma za velike \lambda
\frac{1}{2}\log(2 \pi e \lambda) - \frac{1}{12 \lambda} - \frac{1}{24 \lambda^2} -
                     \frac{19}{360 \lambda^3} + O(\frac{1}{\lambda^4})

funkcija generiranja momentov
(mgf)
\exp(\lambda (e^t-1))\,
karakteristična funkcija \exp(\lambda (e^{it}-1))\,

Poissonova porazdelítev [poasónova ~] je diskretna porazdelitev (nezvezna), ki je podobna binomski porazdelitvi. V Poissonovi porazdelitvi opazujemo verjetnost, da se pojavi določeno število dogodkov v nekem časovnem obdobju, če se ti dogodki pojavljajo z znano pogostostjo in neodvisno od časa, ki je potekel od zadnjega dogodka (pri binomski porazdelitvi pa obravnavamo število uspehov v n ponovitvah poskusa). Lahko rečemo, da se dogodek zgodi zelo redko, ima pa veliko možnosti, da se zgodi.

Poissonova porazdelitev nam služi kot model za število redkih dogodkov, ki se pojavljajo v mnogih ponavljanjih. To pomeni, da je n zelo velik in p zelo majhen, produkt np pa ima neko sprejemljivo, oziroma razumno vrednost (zgled je promet, kjer je izredno veliko možnosti za nesrečo, nesreče pa so relativno redke). To obliko verjetnostne porazdelitve uporabljamo tudi za izračun verjetnosti pojavljanja dogodkov na določeni razdalji, površini ali prostornini (ne samo v časovnem intervalu).

Porazdelitev je uvedel francoski fizik, matematik in geometer Siméon-Denis Poisson (1781 – 1840).

Če je pričakovano število dogodkov v intervalu enako \lambda \! , potem je verjetnost, da se bo zgodilo točno k dogodkov (k =0, 1, 2,…), enaka:

 f(k; \lambda)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \!\, ,

kjer je:

  • e \; osnova naravnih logaritmov
  • k \; število pojavljanj dogodka
  • k! \; funkcija fakulteta za število k
  • \lambda \; pozitivno realno število, ki je enako pričakovanemu številu pojavljanj dogodka v danem intervalu

Kot funkcija spremenljivke k je to funkcija verjetnosti za Poissonovo porazdelitev. Poissonova porazdelitev se lahko dobi tudi iz binomske porazdelitve.

Značilnosti[uredi | uredi kodo]

Funkcija verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Funkcija verjetnosti za Poissonovo porazdelitev je:

 \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \!\, .

Zbirna funkcija verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Zbirna funkcija verjetnosti Poissonove porazdelitve je:

 \frac{\Gamma(\lfloor k+1\rfloor, \lambda)}{\lfloor k\rfloor !}\! kadar je k\ge 0 \!\, ,

kjer je:

ali

e^{-\lambda} \sum_{i=0}^{k} \frac{\lambda^i}{i!}\

Pričakovana vrednost[uredi | uredi kodo]

Pričakovana vrednost je enaka:

 \lambda \!\, .

Varianca[uredi | uredi kodo]

Varianca je enaka:

 \lambda \!\, .

Povezave z drugimi porazdelitvami[uredi | uredi kodo]

Binomska porazdelitev[uredi | uredi kodo]

Poissonova porazdelitev se lahko kot mejni primer dobi iz binomske porazdelitve, če gre število poskusov preko vseh mej, in ostane število pričakovanih uspehov nespremenjeno. To pomeni, da je Poissonova porazdelitev aproksimacija binomske porazdelitve, če je n dovolj velik in verjetnost p dovolj majhna.

Torej lahko za slučajno sprememnljivko X zapišemo:

 X \sim \textrm{B}(n,p) \,\! .

Kadar pa je n zelo velik in p majhen (np pa ima neko sprejemljivo vrednost). V tem primeru lahko vzamemo, da je slučajna spremenljivka X porazdeljena po Poissonovi porazdelitvi:

 X \sim \textrm{Pois}(np) \,\! .

Vsak izmed Bernoullijevih dogodkov se zgodi zelo redko. To včasih imenujemo tudi kot zakon redkih dogodkov. Izraz je malo zavajajoč, ker skupno število uspehov ni majhno (produkt np ni majhen, zgled: število nesreč v prometu ni majhno).

Skellamova porazdelitev[uredi | uredi kodo]

Če je X_1 \sim \mathrm{Pois}(\lambda_1)\, in X_2 \sim \mathrm{Pois}(\lambda_2)\,, potem se razlika  Y = X_1 - X_2 podreja Skellamovi porazdelitvi.

Normalna porazdelitev[uredi | uredi kodo]

Za dovolj velike vrednosti λ (npr. λ > 1000) je normalna porazdelitev dober približek Poissonove porazdelitve.

Posplošitev[uredi | uredi kodo]

Če velja:

 X_n \sim \textrm{B}(n,p_n); \qquad Y\sim\textrm{Pois}(\lambda) \!\, ,

kjer je:

Iz tega sledi, da je X_n\to Y \! in za p_n \! velja:

 \lim_{n\rightarrow\infty} np_n = \lambda \!\, .

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]