Sploščenost

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Sploščenost (tudi koeficient ekscesa ali koeficient sploščenosti) je v teoriji verjetnosti in statistiki vrednost, ki meri koničastost (ostrost vrha) verjetnostne porazdelitve realne slučajne spremenljivke. Označimo jo z \mathbf{\gamma_2}. Na splošno pomeni večja sploščenost tudi, da je večji del variance posledica izjemnih vrednosti.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Sploščenost je definirana kot razmerje med četrto kumulanto in kvadratom druge kumulante

\gamma_2 = \frac{\kappa_4}{\kappa_2^2} = \frac{\mu_4}{\sigma^4} - 3, \!

kjer je

Na koncu je odšteta vrednost 3. To je zaradi tega, da je sploščenost normalne porazdelitve enaka 0. Takšno vrednost včasih imenujemo tudi ekscesna sploščenost.

Četrti centralni moment je določen z

\frac{\mu_4}{\sigma^4},\!

kjer je

Za vzorec n vrednosti izračunamo sploščenost vzorca na naslednji način:

\gamma_2 = \frac{\kappa_4}{\kappa_2^2} -3 = \frac{\tfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^4}{\left(\tfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2\right)^2} - 3

kjer je

  • \mathbf{\overline {x}} srednja vrednost vzorca
  • xi pa so posamezne vrednosti iz vzorca

Značilnosti[uredi | uredi kodo]

  • Sploščenost lahko zavzame samo naslednje vrednosti
\gamma_2 \in [-2,\infty).
\gamma_{2,Y} = \frac{1}{n^2}\sum\limits_{i=1}^n \gamma_{2,X_i},

kjer so

  • \gamma_{2,Y},\gamma_{2,X_i},\; i=1,\ldots,n koeficienti sploščenosti pripadajočih vrednosti.

Sploščenost vedno primerjamo s sploščenostjo normalne porazdelitve, ki ima vrednost 0. Če je sploščenost različna od nič, potem se porazdelitev bistveno razlikuje od normalne porazdelitve. Kadar je pozitivna, je porazdelitev bolj ostra, kadar pa je negativna pa je manj ostra.

Visoka vrednost sploščenosti pomeni, da ima porazdelitev ostrejši vrh in daljši rep.

Porazdelitve z ničelno ekscesno sploščenostjo, imenujemo tudi mezokurtična (mezokurtotična) porazdelitev (primer binomska porazdelitev). Kadar ima porazdelitev pozitivno ekscesno sploščenost, pravimo, da je porazdelitev leptokurtična (leptokurtotična) (tudi nad Gaussova – super Gaussova) (primer Laplaceova porazdelitev). Porazdelitve z negativno ekscesno sploščenostjo pa imenujemo platikurtične (platikurtotična) (tudi pod Gaussove – sub Gaussova) (primer zvezna enakomerna porazdelitev in Bernoullijeva porazdelitev, ki ima p=1/2)