Laplaceova porazdelitev

Laplaceova porazdelitev
oznaka	$Laplace (\mu, b) \!$
parametri	$\mu\,$ parameter lokacije (realno število) $b > 0\,$ parameter merila (realno število)
interval	$x \in (-\infty; +\infty)\,$
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	$\frac{1}{2\,b} \exp \left(-\frac{|x-\mu|}b \right) \,$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	glej opis lastnoti
pričakovana vrednost	$\mu\,$
mediana	$\mu\,$
modus	$\mu\,$
varianca	$2\,b^2$
simetrija	$0\,$
sploščenost	$3\,$
entropija	$\log(2\,e\,b)$
funkcija generiranja momentov (mgf)	$\frac{\exp(\mu\,t)}{1-b^2\,t^2}\,\!$ za $|t|<1/b\,$
karakteristična funkcija	$\frac{\exp(\mu\,i\,t)}{1+b^2\,t^2}\,\!$

Laplaceova porazdelitev [laplásova ~] je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev, ki je določena z dvema parametroma. Včasih jo imenujejo tudi dvojna eksponentna porazdelitev, ker je ta porazdelitev pravzaprav razlika med dvema eksponentnima porazdelitvama.

Imenuje se po francoskem matematiku in astronomu Pierre-Simonu de Laplaceu (1749 – 1827).

Lastnosti

Funkcija gostote verjetnosti

Funkcija gostote verjetnosti za porazdelitev je

$f(x|\mu,b) = \frac{1}{2b} \exp \left( -\frac{|x-\mu|}{b} \right) \,\!$

to je

$= \frac{1}{2b} \left\{\begin{matrix} \exp \left( -\frac{\mu-x}{b} \right) & \mbox{če je }x < \mu \\[8pt] \exp \left( -\frac{x-\mu}{b} \right) & \mbox{če je }x \geq \mu \end{matrix}\right.$

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

$F(x)\, = \int_{-\infty}^x \!\!f(u)\,\mathrm{d}u$

to je

$= \left\{\begin{matrix} &\frac12 \exp \left( \frac{x-\mu}{b} \right) & \mbox{če je }x < \mu \\[8pt] 1-\!\!\!\!&\frac12 \exp \left( -\frac{x-\mu}{b} \right) & \mbox{če je }x \geq \mu \end{matrix}\right.$

ali

$0,5\,[1 + \sgn(x-\mu)\,(1-\exp(-|x-\mu|/b))].$

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je enaka

$\mu\,$.

Varianca

Varianca je enaka

$2\,b^2$.

Funkcija generiranja momentov

Funkcija generiranja momentov je

$\frac{\exp(\mu\,t)}{1-b^2\,t^2}\,\!$
za $|t|<1/b\,$.

Karakteristična funkcija

Karakteristična funkcija je

$\frac{\exp(\mu\,i\,t)}{1+b^2\,t^2}\,\!$.

Povezave z drugimi porazdelitvami

• Če ima slučajna spremenljivka $X \!$ Laplaceovo porazdelitev $X \sim \mathrm{Laplace}(0,b)\,$, potem ima spremenljivka $|X| \!$ eksponentno porazdelitev, kar zapišemo takole $|X| \sim \mathrm{Exp}(b^{-1})\,$.

• Če ima slučajna spremenljivka $X \!$ eksponentno pozazdelitev $X \sim \mathrm{Exp}(\lambda)\,$ in ima od $X \!$ neodvisna slučajna spremenljivka $Y \!$ Bernoullijevo porazdelitev ${Y \sim\,}$ $\mathrm{Bernoulli}(0,5)\,$, potem ima $X(2Y-1) \!$ Laplaceovo porazdelitev $X(2Y-1) \sim \mathrm{Laplace} (0,\lambda^{-1}) \,$ .

• Če imamo dve slučajni spremenljivki, ki imata eksponentno porazdelitev $X_1 \sim \mathrm{Exp}(\lambda_1)\,$ in $X_2 \sim \mathrm{Exp}(\lambda_2)\,$ in je $X_2 \!$ neodvisna od $X_1\,$, potem ima slučajna spremenljivka $\lambda_1 X_1-\lambda \!$ Laplaceovo porazdelitev $\lambda_1 X_1-\lambda_2 X_2 \sim \mathrm{Laplace}\left(0,1\right)\,$.

• Če ima slučajna spremenljivka $V \!$ eksponentno porazdelitev $V \sim \mathrm{Exp}(1)\,$ in ima od $V \!$ neodvisna slučajna spremenljivka $Z \!$ normalno porazdelitev $Z \sim \mathrm{N}(0,1)\,$, potem ima slučajna spremenljivka $X = \mu + b \sqrt{2 V}Z \!$ Lapleceovo porazdelitev $X \sim \mathrm{Laplace}(\mu,b) \!$.

• Splošna Gaussova porazdelitev (1. oblike) je enaka Laplaceovi porazdelitvi, če njen parameter oblike postavimo na 1. Parameter merila $\alpha \!$ je potem enak $b \!$.

Zunanje povezave

• Laplaceova porazdelitev na MathWorld (v angleščini)
• Opis Laplaceove porazdelitve (v angleščini)
• Opis Lapleceove porazdelitve na Xycoon (v angleščini)

Glej tudi

• verjetnostna porazdelitev
• seznam verjetnostnih porazdelitev