Laplaceova porazdelitev

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Laplaceova porazdelitev
Funkcija gostote verjetnosti za Laplaceovo porazdelitev
Zbirna funcija za Laplaceovo porazdelitev.
oznaka Laplace (\mu, b) \!
parametri \mu\, parameter lokacije (realno število)
b > 0\, parameter merila (realno število)
interval x \in (-\infty; +\infty)\,
funkcija gostote verjetnosti
(pdf)
\frac{1}{2\,b} \exp \left(-\frac{|x-\mu|}b \right) \,
zbirna funkcija verjetnosti
(cdf)
glej opis lastnoti
pričakovana vrednost \mu\,
mediana \mu\,
modus \mu\,
varianca 2\,b^2
simetrija 0\,
sploščenost 3\,
entropija \log(2\,e\,b)
funkcija generiranja momentov
(mgf)
\frac{\exp(\mu\,t)}{1-b^2\,t^2}\,\!
za |t|<1/b\,
karakteristična funkcija \frac{\exp(\mu\,i\,t)}{1+b^2\,t^2}\,\!

Laplaceova porazdelitev [laplásova ~] je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev, ki je določena z dvema parametroma. Včasih jo imenujejo tudi dvojna eksponentna porazdelitev, ker je ta porazdelitev pravzaprav razlika med dvema eksponentnima porazdelitvama.

Imenuje se po francoskem matematiku in astronomu Pierre-Simonu de Laplaceu (1749 – 1827).

Lastnosti[uredi | uredi kodo]

Funkcija gostote verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Funkcija gostote verjetnosti za porazdelitev je

f(x|\mu,b) = \frac{1}{2b} \exp \left( -\frac{|x-\mu|}{b} \right) \,\!

to je

    = \frac{1}{2b}
    \left\{\begin{matrix}
      \exp \left( -\frac{\mu-x}{b} \right) & \mbox{če je }x < \mu
      \\[8pt]
      \exp \left( -\frac{x-\mu}{b} \right) & \mbox{če je }x \geq \mu
    \end{matrix}\right.

Zbirna funkcija verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

 F(x)\, = \int_{-\infty}^x \!\!f(u)\,\mathrm{d}u

to je


   = \left\{\begin{matrix}
             &\frac12 \exp \left( \frac{x-\mu}{b} \right) & \mbox{če je }x < \mu
             \\[8pt]
             1-\!\!\!\!&\frac12 \exp \left( -\frac{x-\mu}{b} \right) & \mbox{če je }x \geq \mu
            \end{matrix}\right.

ali

0,5\,[1 + \sgn(x-\mu)\,(1-\exp(-|x-\mu|/b))].

Pričakovana vrednost[uredi | uredi kodo]

Pričakovana vrednost je enaka

\mu\,.

Varianca[uredi | uredi kodo]

Varianca je enaka

2\,b^2.

Funkcija generiranja momentov[uredi | uredi kodo]

Funkcija generiranja momentov je

\frac{\exp(\mu\,t)}{1-b^2\,t^2}\,\!
za |t|<1/b\,.

Karakteristična funkcija[uredi | uredi kodo]

Karakteristična funkcija je

\frac{\exp(\mu\,i\,t)}{1+b^2\,t^2}\,\!.

Povezave z drugimi porazdelitvami[uredi | uredi kodo]

  • Če ima slučajna spremenljivka X \! Laplaceovo porazdelitev X \sim \mathrm{Laplace}(0,b)\,, potem ima spremenljivka |X| \! eksponentno porazdelitev, kar zapišemo takole |X| \sim \mathrm{Exp}(b^{-1})\,.
  • Če imamo dve slučajni spremenljivki, ki imata eksponentno porazdelitev X_1 \sim \mathrm{Exp}(\lambda_1)\, in X_2 \sim \mathrm{Exp}(\lambda_2)\, in je X_2 \! neodvisna od X_1\,, potem ima slučajna spremenljivka \lambda_1 X_1-\lambda \! Laplaceovo porazdelitev \lambda_1 X_1-\lambda_2 X_2 \sim \mathrm{Laplace}\left(0,1\right)\,.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]

Glej tudi[uredi | uredi kodo]