Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Karakterístična fúnkcija verjétnostne porazdelítve (značilna funkcija verjetnostne porazdelitve) ali kar karakteristična funkcija v verjetnostnem računu in statistiki za poljubno slučajno spremenljivko popolnoma določa verjetnostno porazdelitev .
Karakteristična funkcija nam na drugi način (običajno celo enostavnejši) omogoča določanje funkcije gostote verjetnosti in zbirne funkcije verjetnosti . S pomočjo karakteristične funkcije je enostavneje določiti funkcijo gostote verjetnosti ali zbirno funkcijo verjetnosti pri tistih porazdelitvah, ki imajo zelo zapleteno funkcijo porazdelitve.
φ
X
:
R
→
C
;
φ
X
(
t
)
=
E
[
e
i
t
X
]
=
∫
−
∞
∞
e
i
t
x
d
F
X
(
x
)
(
=
∫
−
∞
∞
e
i
t
x
f
X
(
x
)
d
x
)
{\displaystyle \varphi _{X}\!:\mathbb {R} \to \mathbb {C} ;\quad \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} {\big [}e^{itX}{\big ]}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}\,dF_{X}(x)\qquad \left(=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}f_{X}(x)\,dx\right)}
kjer
Zgornji izraz velja samo, če obstoja
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)\!}
funkcija gostote verjetnosti ).Rieman-Stieltjesov integral .
Če poznamo karakteristično funkcijo, lahko dobimo zbirno funkcijo verjetnosti na naslednji način:
F
X
(
y
)
−
F
Y
(
y
)
=
lim
t
→
∞
1
2
π
∫
−
r
+
r
e
−
i
t
x
−
e
+
i
t
x
i
t
.
φ
X
(
t
)
d
t
{\displaystyle F_{X}(y)-F_{Y}(y)=\lim _{t\to \infty }{\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-r}^{+r}{\frac {e^{-itx}-e^{+itx}}{it}}.\varphi _{X}(t)dt\!}
Če integrabilno karakteristično funkcijo označimo s
φ
X
{\displaystyle \varphi _{X}\!}
F
X
{\displaystyle F_{X}\!}
slučajna spremenljivka X funkcijo gostote verjetnosti
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)\!}
f
X
(
x
)
=
F
X
′
(
x
)
=
1
2
π
∫
−
∞
∞
e
−
i
t
x
φ
X
(
t
)
d
t
,
{\displaystyle f_{X}(x)=F_{X}'(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-itx}\varphi _{X}(t)dt,}
X skalarna spremenljivkaLévyjev izrek se imenuje po francoskem matematiku Paulu Pierru Lévyju (1886 – 1971). Izrek pravi naslednje: če je
φ
X
{\displaystyle \varphi _{X}\!}
F
X
{\displaystyle F_{X}\!}
a<b , da velja
F
X
(
b
)
−
F
X
(
a
)
=
1
2
π
lim
T
→
∞
∫
−
T
+
T
e
−
i
t
a
−
e
−
i
t
b
i
t
φ
X
(
t
)
d
t
,
{\displaystyle F_{X}(b)-F_{X}(a)={\frac {1}{2\pi }}\lim _{T\to \infty }\int _{-T}^{+T}{\frac {e^{-ita}-e^{-itb}}{it}}\,\varphi _{X}(t)\,dt,}
X skalarna spremenljivkaVelja tudi
F
X
(
a
)
−
F
X
(
a
−
0
)
=
lim
T
→
∞
1
2
T
∫
−
T
+
T
e
−
i
t
a
φ
X
(
t
)
d
t
{\displaystyle F_{X}(a)-F_{X}(a-0)=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{+T}e^{-ita}\varphi _{X}(t)dt}
X
Porazdelitev
Karakteristična funkcija φ(t)
degenerirana porazdelitev δa
e
i
t
a
{\displaystyle \,e^{ita}}
binomska porazdelitev B(n, p )
(
1
−
p
+
p
e
i
t
)
n
{\displaystyle \,(1-p+pe^{it})^{n}}
Poissonova porazdelitev Pois(λ )
e
λ
(
e
i
t
−
1
)
{\displaystyle \,e^{\lambda (e^{it}-1)}}
zvezna enakomerna porazdelitev U(a, b )
e
i
t
b
−
e
i
t
a
i
t
(
b
−
a
)
{\displaystyle \,{\frac {e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}}}
Laplaceova porazdelitev L(μ, b )
e
i
t
μ
1
+
b
2
t
2
{\displaystyle \,{\frac {e^{it\mu }}{1+b^{2}t^{2}}}}
normalna porazdelitev N (μ, σ2 )
e
i
t
μ
−
1
2
σ
2
t
2
{\displaystyle \,e^{it\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}}
porazdelitev hi-kvadrat χ2 k
(
1
−
2
i
t
)
−
k
/
2
{\displaystyle \,(1-2it)^{-k/2}}
Cauchyjeva porazdelitev Cauchy(μ, θ )
e
i
t
μ
−
θ
|
t
|
{\displaystyle \,e^{it\mu -\theta |t|}}
porazdelitev gama Γ(k, θ )
(
1
−
i
t
θ
)
−
k
{\displaystyle \,(1-it\theta )^{-k}}
eksponentna porazdelitev Exp(λ )
(
1
−
i
t
λ
−
1
)
−
1
{\displaystyle \,(1-it\lambda ^{-1})^{-1}}
multivariantna normalna porazdelitev N (μ , Σ )
e
i
t
′
μ
−
1
2
t
′
Σ
t
{\displaystyle \,e^{it'\mu -{\frac {1}{2}}t'\Sigma t}}
![{\displaystyle \varphi _{X}\!:\mathbb {R} \to \mathbb {C} ;\quad \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} {\big [}e^{itX}{\big ]}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}\,dF_{X}(x)\qquad \left(=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}f_{X}(x)\,dx\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58f1235ad839685cf0f51e8e979824692f2772ec)
