Porazdelitev gama

Porazdelitev gama
Funkcija gostote verjetnosti za porazdelitev gama.
Zbirna funkcija verjetnosti za porazdelitev gama.
oznaka	$\textrm{Gamma}(k, \theta)\!$ ali $\Gamma(k, \theta) \!$
parametri	$k > 0\,$ parameter oblike $\theta > 0\,$ parameter merila
interval	$x \in [0, \infty)\!$
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	$x^{k-1} \frac{\exp{\left(-x/\theta\right)}}{\Gamma(k)\,\theta^k}\,\!$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	$\frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)} \!$
pričakovana vrednost	$k\theta \!$
mediana	nima enostavne oblike
modus	$(k-1) \theta\text{ za }k \geq 1\,\!$
varianca	$k \theta^2\,\!$
simetrija	$\frac{2}{\sqrt{k}}\,\!$
sploščenost	$\frac{6}{k}\,\!$
entropija	$k + \ln\theta + \ln\Gamma(k) \!$ $+ (1-k)\psi(k) \!$
funkcija generiranja momentov (mgf)	$(1 - \theta\,t)^{-k}\text{ za }t < 1/\theta\,\!$
karakteristična funkcija	$(1 - \theta\,i\,t)^{-k}\,\!$

Porazdelitev gama je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev. Določena je z dvema parametroma, od katerih je prvi parameter merila, drugi pa parameter oblike.

Porazdelitev gama slučajne spremenljivke $X \!$ označujemo na dva načina:

$X \sim \Gamma(k, \theta)\text{ ali }X \sim \textrm{Gamma}(k, \theta). \,$

Opomba: po prvem načinu lahko zamenjamo funkcijo gama s porazdelitvijo in je zaradi tega bolj ugodna druga vrsta označevanja porazdelitve.

Lastnosti

Funkcija verjetnosti

Funkcija gostote verjetnosti za porazdelitev gama je

$x^{k-1} \frac{\exp{\left(-x/\theta\right)}}{\Gamma(k)\,\theta^k}\,\!$

kjer je

• $\Gamma(k) \!$ funkcija gama

Porazdelitev gama lahko opišemo tudi s parametrom oblike $\alpha = \theta \!$ in z obratno vrednostjo parametra merila $\beta = \frac {1}{\theta} \!$, ki ga imenujemo tudi parameter stopnje.

V tem primeru je funkcija gostote verjetnosti enaka

$g(x;\alpha,\beta) = \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta {x}} \text{ za }x > 0. \,$.

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

$\frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)} \!$

kjer je

• $\gamma(k, x/\theta) \!$ nepopolna funkcija gama
• $\Gamma(k) \!$ funkcija gama

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je enaka

$k\theta \!$.

Varianca

Varianca je enaka

$k \theta^2\,\!$.

Sploščenost

Sploščenost je enaka

$\frac{6}{k}\,\!$

Povezave z drugimi porazdelitvami

• Če ima slučajna spremenljivka $X \!$ porazdelitev gama $X \sim \textrm{Gamma}(k=1, \theta=1/\lambda)\,$, potem ima slučajna spremenljivka $X \!$ tudi eksponencialno porazdelitev s parametrom merila λ.
• Če za slučajno spremenljivko $X \!$ velja $X \sim \textrm{Gamma} (k=\nu/2, \theta=2)\,$, potem ima $X\!$ hi-kvadrat porazdelitev z $\mu \!$ prostostnimi stopnjami. Obratno pa velja, če je $Q \sim {\chi}^2(\nu)\,$ in je $c \!$ pozitivna konstanta, potem velja tudi $c\cdot Q \sim \textrm{Gamma} (k=\nu/2, \theta=2c)\,$.
• Če za slučajno spremenljivko $X \!$ velja, da je njen kvadrat porazdeljen po gama porazdelitvi $X^2 \sim \textrm{Gamma} (3/2, 2a^2)\,$, potem ima slučajna spremenljivka $X\!$ Boltzmannovo porazdelitev s parametrom $a \!$.
• Kadar je slučajna spremenljivka $X \!$ porazdeljena na naslednji način $X \sim \mathrm{SkewLogistic}(\theta)\,$ (poseben tip eksponencialne porazdelitve), potem za slučajno spremenljivko $\mathrm{log}(1 + e^{-X}) \,$ velja, da je porazdeljena po gama porazdelitvi $\mathrm{log}(1 + e^{-X}) \sim \Gamma (1,\theta)\,$

• Če se slučajna spremenljivka $X \!$ podreja porazdelitvi $X \sim \textrm{Gamma}(k, \theta)\!$ potem ima $1/X \!$ obratno gama porazdelitev s parametroma $k \!$ in $\theta^{-1}\!$.
• Če sta slučajni spremenljivki $X \!$ in $Y \!$ porazdeljeni neodvisno $X \sim \textrm{Gamma}(k, \theta)\!$ in $Y \sim \textrm{Gamma}(k, \theta)\!$ potem ima slučajna spremenljivka $\frac{X}{X + Y}\!$ beta porazdelitev s parametroma $\alpha \!$ in $\beta \!$.
• Če so slučajne spremenljivke $X_j \!$ neodvisno porazdeljene po porazdelitvi $\textrm{Gamma}(\alpha_{j}, \theta)\!$, potem je vektor $(\frac{X_1}{S}, \ldots, \frac{X_n}{S})\!$

kjer je $S = X_1 + X_2 +\ldots + X_n \!$
porazdeljen po Diricheltovi porazdelitvi s parametri $\alpha_{1} \ldots, \alpha_{n} \!$

• za velike $k\!$ gama porazdelitev konvergira proti Gaussovi porazdelitvi s pričakovano vrednostjo $\mu = k\theta \!$ in varianco $\sigma^2 = k\theta^2 \!$.
• Wishartova porazdelitev je multivariantna posplošitev gama porazdelitve.
• gama porazdelitev je posebni primer posplošene gama funkcije.

Zunaje povezave

• Opis gama porazdelitve (v angleščini)

Glej tudi

• verjetnostna porazdelitev
• seznam verjetnostnih porazdelitev