Porazdelitev gama

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Porazdelitev gama
Funkcija gostote verjetnosti za porazdelitev gama.
Zbirna funkcija verjetnosti za porazdelitev gama.
oznaka  \textrm{Gamma}(k, \theta)\!
ali  \Gamma(k, \theta) \!
parametri k > 0\, parameter oblike
\theta > 0\, parameter merila
interval x \in [0, \infty)\!
funkcija gostote verjetnosti
(pdf)
x^{k-1} \frac{\exp{\left(-x/\theta\right)}}{\Gamma(k)\,\theta^k}\,\!
zbirna funkcija verjetnosti
(cdf)
\frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)} \!
pričakovana vrednost k\theta \!
mediana nima enostavne oblike
modus (k-1) \theta\text{ za }k \geq 1\,\!
varianca k \theta^2\,\!
simetrija \frac{2}{\sqrt{k}}\,\!
sploščenost \frac{6}{k}\,\!
entropija k + \ln\theta + \ln\Gamma(k) \!
+ (1-k)\psi(k) \!
funkcija generiranja momentov
(mgf)
(1 - \theta\,t)^{-k}\text{ za }t < 1/\theta\,\!
karakteristična funkcija (1 - \theta\,i\,t)^{-k}\,\!

Porazdelitev gama je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev. Določena je z dvema parametroma, od katerih je prvi parameter merila, drugi pa parameter oblike.

Porazdelitev gama slučajne spremenljivke X \! označujemo na dva načina:

X \sim \Gamma(k, \theta)\text{ ali }X \sim \textrm{Gamma}(k, \theta). \,

Opomba: po prvem načinu lahko zamenjamo funkcijo gama s porazdelitvijo in je zaradi tega bolj ugodna druga vrsta označevanja porazdelitve.

Lastnosti[uredi | uredi kodo]

Funkcija verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Funkcija gostote verjetnosti za porazdelitev gama je

x^{k-1} \frac{\exp{\left(-x/\theta\right)}}{\Gamma(k)\,\theta^k}\,\!

kjer je

Porazdelitev gama lahko opišemo tudi s parametrom oblike  \alpha = \theta \! in z obratno vrednostjo parametra merila  \beta = \frac {1}{\theta} \!, ki ga imenujemo tudi parameter stopnje.

V tem primeru je funkcija gostote verjetnosti enaka

g(x;\alpha,\beta) = \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta {x}} \text{  za }x > 0. \,.

Zbirna funkcija verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

\frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)} \!

kjer je

Pričakovana vrednost[uredi | uredi kodo]

Pričakovana vrednost je enaka

k\theta \!.

Varianca[uredi | uredi kodo]

Varianca je enaka

k \theta^2\,\!.

Sploščenost[uredi | uredi kodo]

Sploščenost je enaka

\frac{6}{k}\,\!

Povezave z drugimi porazdelitvami[uredi | uredi kodo]

  • Če ima slučajna spremenljivka X \! porazdelitev gama X \sim \textrm{Gamma}(k=1, \theta=1/\lambda)\,, potem ima slučajna spremenljivka X \! tudi eksponencialno porazdelitev s parametrom merila λ.
  • Če za slučajno spremenljivko X \! velja X \sim \textrm{Gamma} (k=\nu/2, \theta=2)\,, potem ima X\! hi-kvadrat porazdelitev z \mu \! prostostnimi stopnjami. Obratno pa velja, če je Q \sim {\chi}^2(\nu)\, in je c \! pozitivna konstanta, potem velja tudi c\cdot Q \sim \textrm{Gamma} (k=\nu/2, \theta=2c)\,.
  • Če za slučajno spremenljivko X \! velja, da je njen kvadrat porazdeljen po gama porazdelitvi X^2 \sim \textrm{Gamma} (3/2, 2a^2)\,, potem ima slučajna spremenljivka X\! Boltzmannovo porazdelitev s parametrom a \!.
  • Kadar je slučajna spremenljivka X \! porazdeljena na naslednji način X \sim \mathrm{SkewLogistic}(\theta)\, (poseben tip eksponencialne porazdelitve), potem za slučajno spremenljivko \mathrm{log}(1 + e^{-X}) \, velja, da je porazdeljena po gama porazdelitvi \mathrm{log}(1 + e^{-X}) \sim \Gamma (1,\theta)\,
  • Če se slučajna spremenljivka X \! podreja porazdelitvi  X \sim \textrm{Gamma}(k, \theta)\! potem ima 1/X \! obratno gama porazdelitev s parametroma k \! in  \theta^{-1}\!.
  • Če sta slučajni spremenljivki X \! in Y \! porazdeljeni neodvisno  X \sim \textrm{Gamma}(k, \theta)\! in  Y \sim \textrm{Gamma}(k, \theta)\! potem ima slučajna spremenljivka \frac{X}{X + Y}\! beta porazdelitev s parametroma \alpha \! in \beta \!.
  • Če so slučajne spremenljivke X_j \! neodvisno porazdeljene po porazdelitvi  \textrm{Gamma}(\alpha_{j}, \theta)\!, potem je vektor (\frac{X_1}{S}, \ldots, \frac{X_n}{S})\!

kjer je S = X_1 + X_2 +\ldots + X_n \!
porazdeljen po Diricheltovi porazdelitvi s parametri  \alpha_{1} \ldots, \alpha_{n} \!

Zunaje povezave[uredi | uredi kodo]

Glej tudi[uredi | uredi kodo]