Porazdelitev hi-kvadrat

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Porazdelitev hi-kvadrat
Funkcija gostote verjetnosti za hi-kvadrat porazdelitev.
Zbirna funkcija verjetnosti za hi-kvadrat porazdelitev.
oznaka \chi^2(k)\,
parametri kN1prostostne stopnje
interval x ∈ [0, +∞)
funkcija gostote verjetnosti
(pdf)
\frac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)}\; x^{k/2-1} e^{-x/2}\,
zbirna funkcija verjetnosti
(cdf)
\frac{1}{\Gamma(k/2)}\;\gamma(k/2,\,x/2)
pričakovana vrednost k\,
mediana \approx k\bigg(1-\frac{2}{9k}\bigg)^3
modus max{ k − 2, 0 }
varianca 2{k}\!
simetrija \scriptstyle\sqrt{8/k}\,
sploščenost \frac{12}{k}\!
entropija \frac{k}{2}\!+\!\ln(2\Gamma(k/2))\!+\!(1\!-\!k/2)\psi(k/2)
funkcija generiranja momentov
(mgf)
(1-2\,t)^{-k/2}  
za | t | ≤ ½
karakteristična funkcija (1-2\,i\,t)^{-k/2}       [1]

Porazdelitev hi-kvadrat je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev vsot kvadratov k neodvisnih normalno porazdeljenih slučajnih spremenljivk. Porazdelitev hi kvadrat se zelo pogosto uporablja pri statističnem testiranju hipotez ali pri kreiranju intervalov zaupanja.

Najbolj pogosto se hi-kvadrat porazdelitev uporablja pri hi-kvadrat testu. Porazdelitev hi-kvadrat je poseben primer porazdelitve gama.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Če so X_1 \!, X_2 \!, …..X_k \! neodvisne slučajne spremenljivke, ki so normalno porazdeljene s pričakovano vrednostjo 0 in varianco 1, potem je slučajna spremenljivka

 Q = \sum_{i=1}^k X_i^2

porazdeljena po porazdelitvi hi-kvadrat s k prostostnimi stopnjami. To zapišemo kot


    Q\ \sim\ \chi^2(k). \,
  .

Lastnosti[uredi | uredi kodo]

Funkcija gostote verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Funkcija gostote verjetnosti za hi-kvadrat porazdelitev je


    f(x;\,k) = \frac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)}\,x^{k/2 - 1} e^{-x/2}\, \mathbf{1}_{\{x\geq0\}},

kjer je

Zbirna funkcija verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka


    F(x;\,k) = \frac{\gamma(k/2,\,x/2)}{\Gamma(k/2)} = P(k/2,\,x/2),

kjer je

Kadar je k = 2\!, dobi funkcija enostavnejšo obliko:


    F(x;\,2) = 1 - e^{-\frac{x}{2}}.
  .

Pričakovana vrednost[uredi | uredi kodo]

Pričakovana vrednost je enaka

k\,.

Varianca[uredi | uredi kodo]

Varianca je enaka

2{k}\! .

Sploščenost[uredi | uredi kodo]

Sploščenost je enaka

\frac{12}{k}\!

Funkcija generiranja momentov[uredi | uredi kodo]

Funkcija generiranja momentov je (1-2\,t)^{-k/2}\!  
za | t | ≤ ½

Karakteristična funkcija[uredi | uredi kodo]

Karakteristična funkcija je (1-2\,i\,t)^{-k/2}      

Opombe in reference[uredi | uredi kodo]

  1. ^ M.A. Sanders. "Characteristic function of the central chi-square distribution". Pridobljeno dne 06.marca 2009. 

Povezave z drugimi porazdelitvami[uredi | uredi kodo]

Y = \sum_{i=1}^n \left(\frac{X_i - \mu}{\sigma}\right)^2

hi-kvadrat porazdeltev.

 \chi^2(2) \equiv \mathrm{Exp}(1/2) \!.
  • Če velja Y_1 \sim \chi^2(n_1) \! in Y_2 \sim \chi^2(n_2) \!, potem ima slučajna spremenljivka
F = \frac{Y_1/n_1}{Y_2 / n_2}\!

Fisherjevo porazdelitev s prostostnima stopnjama \!(n_1,n_2) \!.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]

Glej tudi[uredi | uredi kodo]