Porazdelitev hi-kvadrat

Porazdelitev hi-kvadrat
Funkcija gostote verjetnosti za hi-kvadrat porazdelitev.
Zbirna funkcija verjetnosti za hi-kvadrat porazdelitev.
oznaka	$\chi^2(k)\,$
parametri	k ∈ N1 — prostostne stopnje
interval	x ∈ [0, +∞)
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	$\frac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)}\; x^{k/2-1} e^{-x/2}\,$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	$\frac{1}{\Gamma(k/2)}\;\gamma(k/2,\,x/2)$
pričakovana vrednost	$k\,$
mediana	$\approx k\bigg(1-\frac{2}{9k}\bigg)^3$
modus	max{ k − 2, 0 }
varianca	$2{k}\!$
simetrija	$\scriptstyle\sqrt{8/k}\,$
sploščenost	$\frac{12}{k}\!$
entropija	$\frac{k}{2}\!+\!\ln(2\Gamma(k/2))\!+\!(1\!-\!k/2)\psi(k/2)$
funkcija generiranja momentov (mgf)	$(1-2\,t)^{-k/2}$   za | t | ≤ ½
karakteristična funkcija	$(1-2\,i\,t)^{-k/2}$

Porazdelitev hi-kvadrat je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev vsot kvadratov k neodvisnih normalno porazdeljenih slučajnih spremenljivk. Porazdelitev hi kvadrat se zelo pogosto uporablja pri statističnem testiranju hipotez ali pri kreiranju intervalov zaupanja.

Najbolj pogosto se hi-kvadrat porazdelitev uporablja pri hi-kvadrat testu. Porazdelitev hi-kvadrat je poseben primer porazdelitve gama.

Definicija

Če so $X_1 \!$, $X_2 \!$, …..$X_k \!$ neodvisne slučajne spremenljivke, ki so normalno porazdeljene s pričakovano vrednostjo 0 in varianco 1, potem je slučajna spremenljivka

$Q = \sum_{i=1}^k X_i^2$

porazdeljena po porazdelitvi hi-kvadrat s k prostostnimi stopnjami. To zapišemo kot

$Q\ \sim\ \chi^2(k). \,$.

Lastnosti

Funkcija gostote verjetnosti

Funkcija gostote verjetnosti za hi-kvadrat porazdelitev je

$f(x;\,k) = \frac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)}\,x^{k/2 - 1} e^{-x/2}\, \mathbf{1}_{\{x\geq0\}},$

kjer je

• $\Gamma(k/2) \!$ funkcija gama

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

$F(x;\,k) = \frac{\gamma(k/2,\,x/2)}{\Gamma(k/2)} = P(k/2,\,x/2),$

kjer je

• $\gamma(k/2,\,x/2) \!$ spodnja nepopolna funkcija gama.
• $P(k/2,\,x/2) \!$ regulirana funkcija gama.

Kadar je $k = 2\!$, dobi funkcija enostavnejšo obliko:

$F(x;\,2) = 1 - e^{-\frac{x}{2}}.$.

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je enaka

$k\,$.

Varianca

Varianca je enaka

$2{k}\!$ .

Sploščenost

Sploščenost je enaka

$\frac{12}{k}\!$

Funkcija generiranja momentov

Funkcija generiranja momentov je $(1-2\,t)^{-k/2}\!$  
za | t | ≤ ½

Karakteristična funkcija

Karakteristična funkcija je $(1-2\,i\,t)^{-k/2}$      

Povezave z drugimi porazdelitvami

• Če so $X_1 ,\ldots , X_n$ neodvisne in normalno porazdeljene slučajne spremenljivke, da je $X_i \sim N(\mu,\sigma^2),\; i=1,\ldots, n$, potem ima

$Y = \sum_{i=1}^n \left(\frac{X_i - \mu}{\sigma}\right)^2$

hi-kvadrat porazdeltev.

• Kadar je $\!n=2$, se porazdelitev hi-kvadrat iznenači z eksponentno porazdelitvijo.

$\chi^2(2) \equiv \mathrm{Exp}(1/2) \!$.

• Če velja $Y_1 \sim \chi^2(n_1) \!$ in $Y_2 \sim \chi^2(n_2) \!$, potem ima slučajna spremenljivka

$F = \frac{Y_1/n_1}{Y_2 / n_2}\!$

Fisherjevo porazdelitev s prostostnima stopnjama $\!(n_1,n_2) \!$.

Zunanje povezave

• Opis porazdelitve (v angleščini)
• opis porazdelitve na Mathworld (v angleščini)
• Porazdelitev hi kvadrat] {bikona en}}

Glej tudi

• verjetnostna porazdelitev
• seznam verjetnostnih porazdelitev