Cauchyjeva porazdelitev

Cauchyjeva porazdelitev
Funkcija gostote verjetnosti za Cauchyjevo porazdelitev
Zbirna funcija verjetnosti za Cauchyjevo porazdelitev.
oznaka	$Cauchy (x_0, \gamma) \!$
parametri	$x_0\!$ parameter lokacije (realno število) $\gamma > 0\!$ parameter merila (realno število)
interval	$x \in (-\infty; +\infty)\!$
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	$\frac{1}{\pi\gamma\,\left[1 + \left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)^2\right]} \!$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	$\frac{1}{\pi} \arctan\left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)+\frac{1}{2}$
pričakovana vrednost	ni določena
mediana	$x_0$
modus	$x_0$
varianca	ni določena (neskončna)
simetrija	ni določena
sploščenost	ni določena
entropija	$\ln(4\,\pi\,\gamma)\!$
funkcija generiranja momentov (mgf)	ni določena
karakteristična funkcija	$\exp(x_0\,i\,t-\gamma\,|t|)\!$

Cauchyjeva porazdelitev (tudi Cauchy-Lorentzova porazdelitev) je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev z dvema parametroma (lokacije in merila).

Imenuje se po francoskem matematiku Augustinu Louisu Cauchyju (1789 – 1857) in nizozemskem fiziku Hendriku Antoonu Lorentzu (1853 – 1928). Porazdelitev je znana kot Cauchyjeva porazdelitev, med fiziki pa je znana kot Lorentzova porazdelitev ali Breit-Wignerjeva porazdelitev.

Značilnosti porazdelitve

Funkcija gostote verjetnosti

Funkcija gostote verjetnosti za Cauchyjevo porazdelitev je:

$\begin{align} f(x; x_0,\gamma)&= \frac{1}{\pi\gamma \left[1 + \left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)^2\right]} \\[0.5em] &= { 1 \over \pi } \left[ { \gamma \over (x - x_0)^2 + \gamma^2 } \right] \end{align}$

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka:

$F(x; x_0,\gamma)=\frac{1}{\pi} \arctan\left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)+\frac{1}{2} \!\, .$

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost ni določena.

Varianca

Varianca ni določena.

Funkcija generiranja momentov

Funkcija generiranja momentov ni določena.

Standardna Cauchyjeva porazdelitev

Standardno Cauchyjevo porazdelitev dobimo takrat, ko je $x_0 = 0 \!$ in $\gamma = 1 \!$. V tem primeru je funkcija gostote verjetnosti enaka:

$f(x; 0,1) = \frac{1}{\pi (1 + x^2)} \!\, .$

Povezave z drugimi porazdelitvami

• Razmerje med dvema neodvisnima standardnima normalnima spremenljivkama ima Cauchyjevo porazdelitev oziroma $Cauchy(0,1) \!$, kar pomeni, da je Cauchyjeva porazdelitev kvocientna porazdelitev

• Standardna Cauchyjeva porazdelitev $Cauchy(0,1) \!$ je poseben primer Študentove t porazdelitve z eno prostostno stopnjo.

• Če se slučajna spremenljivka $X \!$ podreja stabilni porazdelitvi $X \sim Stable(1, 0, \gamma, \mu) \!$, potem ima slučajna spremenljivka Cauchyjevo porazdelitev $X \sim Cauchy( \mu, \gamma) \!$.

Zunanje povezave

• Cauchyjeva porazdelitev na Mathworld (v angleščini)
• Opis Cauchyjeve porazdelitve (v angleščini)

Glej tudi

• seznam verjetnostnih porazdelitev