Študentova t porazdelitev

Študentova t porazdelitev
Funkcija gostote verjetnosti za študentovo t porazdelitev
Zbirna funcija verjetnosti za študentovo t porazdelitev.
oznaka	$t(\nu) \!$ tudi $S(\nu) \!$
parametri	$\nu > 0 \!$ prostostne stopnje (realno število)
interval	$x \in (-\infty; +\infty)\!$
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	$\frac{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})} {\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma(\frac{\nu}{2})} \left(1+\frac{x^2}{\nu} \right)^{-(\frac{\nu+1}{2})}\!$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	$\begin{matrix} \frac{1}{2} + x \Gamma \left( \frac{\nu+1}{2} \right) \cdot\\[0.5em] \frac{\,_2F_1 \left ( \frac{1}{2},\frac{\nu+1}{2};\frac{3}{2}; -\frac{x^2}{\nu} \right)} {\sqrt{\pi\nu}\,\Gamma (\frac{\nu}{2})} \end{matrix}$ kjer je $_2F_1 \!$ hipergeometrična funkcija
pričakovana vrednost	$0\text{ za }\nu>1 \!$, drugje je nedefinirana
mediana	$0 \!$
modus	$0 \!$
varianca	$\frac{\nu}{\nu-2}\text{ za }\nu>2\!$, $\infty \!$ za $1<\nu\le2$, drugje nedefinirana
simetrija	$0\text{ za }\nu>3 \!$
sploščenost	$\frac{6}{\nu-4}\text{ za }\nu>4\!$
entropija	$\begin{matrix} \frac{\nu+1}{2}\left[ \psi(\frac{1+\nu}{2}) - \psi(\frac{\nu}{2}) \right] \\[0.5em] + \log{\left[\sqrt{\nu}B(\frac{\nu}{2},\frac{1}{2})\right]} \end{matrix}$ $\psi \!$: funkcija digama, $B \!$: funkcija beta
funkcija generiranja momentov (mgf)	(ni definirana)
karakteristična funkcija	$\frac{K_{\nu/2}(\sqrt{\nu}|t|)(\sqrt{\nu}|t|)^{\nu/2}}{\Gamma(\nu/2)2^{\nu/2-1}},\;\nu>0$ $K_{\nu}(x) \!$: Besselova funkcija

Študentova t porazdelitev (tudi t porazdelitev ali Studentova t porazdelitev) je zvezna verjetnostna porazdelitev.

Študentovo t porazdelitev je odkril William Sealy Gosset (1876 – 1937) v letu 1908. Njeno odkritje je objavil pod psevdonimom Študent (Student). Gosset je bil pivovar v pivovarni pri Guinnessu. Porazdelitev je odkril med raziskavo vpliva kvasovk na kakovost piva. Pozneje je ameriški statistik in ekonomski teoretik Harold Hotelling (1895 – 1973) razvil t porazdelitev. Ime porazdelitve pa je ostalo.

Definicija

Študentova t porazdelitev je verjetnostna porazdelitev razmerja

$\frac{Z}{\sqrt{V/\nu\ }} = Z \sqrt{\nu / V}$

kjer ima

• $Z \!$ normalno porazdelitev s pričakovano vrednostjo $0 \!$ in varianco $1 \!$
• $V \!$ ima porazdelitev hi-kvadrat z $\nu \!$ prostostnimi stopnjami
• $Z \!$ and $V \!$ sta statistično neodvisni slučajni spremenljivki.

Lastnosti t porazdelitve

Funkcija gostote verjetnosti

Funkcija gostote verjetnosti za t porazdelitev je

$\frac{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})} {\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma(\frac{\nu}{2})} \left(1+\frac{x^2}{\nu} \right)^{-(\frac{\nu+1}{2})}\!$.

kjer je

• $\Gamma (z) \!$ funkcija gama.
• $\nu \!$ so prostostne stopnje porazdelitve

Kadar je $\nu$ parno (sodo) število je funkcija gostote verjetnosti enaka

$\frac{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})} {\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma(\frac{\nu}{2})} = \frac{(\nu -1)(\nu -3)\cdots(5)(3)} {2\sqrt{\nu}(\nu -2)(\nu -4)\cdots(4)(2)\,}.$

Kadar pa je $\nu$ neparno število (liho) pa je funkcija gostote verjetnosti enaka

$\frac{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})} {\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma(\frac{\nu}{2})} = \frac{(\nu -1)(\nu -3)\cdots(4)(2)} {\pi \sqrt{\nu}(\nu -2)(\nu -4)\cdots(5)(3)\,}.\!$

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

$\begin{matrix} \frac{1}{2} + x \Gamma \left( \frac{\nu+1}{2} \right) \cdot\\[0.5em] \frac{\,_2F_1 \left ( \frac{1}{2},\frac{\nu+1}{2};\frac{3}{2}; -\frac{x^2}{\nu} \right)} {\sqrt{\pi\nu}\,\Gamma (\frac{\nu}{2})} \end{matrix}$

kjer je

• $_2F_1 \!$ hipergeometrična funkcija
• $\Gamma (z) \!$ funkcija gama.

Zbirno funkcijo verjetnosti pa lahko izrazimo tudi s pomočjo nepopolne funkcije beta:

$\int_{-\infty}^t f(u)\,du = I_x\left(\frac{\nu}{2},\frac{\nu}{2}\right) = \frac{B\left(x;\frac{\nu}{2},\frac{\nu}{2}\right)}{B\left(\frac{\nu}{2},\frac{\nu}{2}\right)}$

kjer je

• $x = \frac{t+\sqrt{t^2+\nu}}{2\sqrt{t^2+\nu}}.$.
• $B(x, a, b) \!$ nepopolna funkcija beta

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je enaka

$0\text{ za }\nu>1 \!$

drugje je nedefinirana.

Varianca

Varianca je enaka

$\frac{\nu}{\nu-2}\text{ za vrednosti }\nu>2\!$,
$\infty \!$ za $1<\nu\le2$,
drugje je nedefinirana.

Sploščenost

Sploščenost je enaka

$\frac{6}{\nu-4}\text{ za }\nu>4\!$.

Funkcija generiranja momentov

Funkcija generiranja momentov ni določena.

Povezave z drugimi porazdelitvami

• Slučajna spremenljivka $Y \!$ ima F porazdelitev $Y \sim \mathrm{F}(\nu_1 = 1, \nu_2 = \nu) \!$ kadar je $Y = X^2\!$ in ima slučajna spremenljivka $X \!$ Študentovo t porazdelitev $X \sim \mathrm{t}(\nu)\!$.

• Slučajna spremenljivka $Y \!$ ima normalno porazdelitev $Y \sim \mathrm{N}(0,1)\!$, ko velja $Y = \lim_{\nu \to \infty} X$ in ima slučajna spremenljivka $X \!$ t porazdelitev $X \sim \mathrm{t}(\nu) \!$.

• Slučajna spremenljivka $X \!$ ima Cauchyjevo porazdelitev $X \sim \mathrm{Cauchy}(0,1) \!$, kadar ima $X \!$ t porazdelitev $X \sim \mathrm{t}(\nu = 1) \!$.

Zunanje povezave

• Študentova t porazdelitev na MathWorld (v angleščini)
• Opis Študentove t porazdelitve (v angleščini)

Glej tudi

• seznam verjetnostnih porazdelitev