Centralni moment

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Centralni moment k-tega reda realne slučajne spremenljivke X za srednjo vrednost je v teoriji verjetnosti in statistiki moment, ki je enak

 \mu_k = E \left[ ( X - E[X] )^k \right]

kjer je

Pri slučajnih spremenljivkah, ki nimajo določene srednje vrednosti, centralni moment ni določljiv. Za zvezne univariantne verjetnostne porazdelitve s funkcijo gostote verjetnosti f(x), je moment za srednjo vrednost enak

 \mu_k = E \left[ ( X - E[X] )^k \right]  = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - \mu)^k f(x)\,dx.

Za slučajne spremenljivke, ki nimajo srednje vrednosti (primer Caushyjeva porazdelitev), centralnega momenta ni možno določiti.

Za diskretno spremenljivko je odgovarjajoči obrazec enak

\mu_k = \sum_{i = 0}^m (x_i-\mu_k)^k p_x(x_i)

kjer je

  •  \mu \! pričakovana vrednost (srednja vrednost)
  •  f(x) \! verjetnostna porazdelitev.

Nekaj prvih centralnih momentov je tudi razumljivih in splošno uporabljanih

Lastnosti[uredi | uredi kodo]

  • n-ti centralni moment je invarianta za premik (translacijo)
\mu_n(X+c)=\mu_n(X).\,
  • Za vse n je centralni moment homogen stopnje c
\mu_n(cX)=c^n\mu_n(X).\,
  • za vse n  ≤ 3
\mu_n(X+Y)=\mu_n(X)+\mu_n(Y)\ \mathrm{za}\ n\leq 3.\,

Moment glede na izhodišče[uredi | uredi kodo]

Včasih je bolj ugodno, da določamo moment glede na izhodišče in ne glede na srednjo vrednost. Splošna formula za pretvorbo n-tega momenta glede na izhodišče v moment glede na srednjo vrednost je


\mu_n = \sum_{j=0}^n {n \choose j} (-1) ^{n-j} \mu'_j \mu^{n-j},

kjer je

  • μ srednja vrednost porazdelitve

Moment glede na izhodišče pa je podan z


\mu'_j = \int_{-\infty}^{+\infty} x^j f(x)\,dx.

Za primere, ko je n = 2, 3, 4 , ki so najbolj zanimivi, ker so povezani z varianco, koeficientom simetrije in sploščenostjo dobimo:

\mu_2 = \mu'_2 - \mu^2\,
\mu_3 = \mu'_3 - 3 \mu \mu'_2 + 2 \mu^3\,
\mu_4 = \mu'_4 - 4 \mu \mu'_3 + 6 \mu^2 \mu'_2 - 3 \mu^4.\,.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]