Geometrična porazdelitev

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Negativna binomska porazdelitev
Geometricpdf1.pngGeometricpdf0.png
Geometriccdf1.pngGeometriccdf0.png
oznaka Geometric (p) \!
parametri 0< p \leq 1
verjetnost uspeha (realno število)
0< p \leq 1
verjetnost uspeha (realno število)
interval k \in \{1,2,3,\dots\}\! k \in \{0,1,2,3,\dots\}\!
funkcija verjetnosti
(pdf)
(1 - p)^{k-1}\,p\! (1 - p)^{k}\,p\!
zbirna funkcija verjetnosti
(cdf)
1-(1 - p)^k\! 1-(1 - p)^{k+1}\!
pričakovana vrednost \frac{1}{p}\! \frac{1-p}{p}\!
mediana \left\lceil \frac{-\log(2)}{\log(1-p)} \right\rceil\!
(not unique if -\log(2)/\log(1-p) is an integer)
modus 1 0
varianca \frac{1-p}{p^2}\! \frac{1-p}{p^2}\!
simetrija \frac{2-p}{\sqrt{1-p}}\! \frac{2-p}{\sqrt{1-p}}\!
sploščenost
(eksces)
6+\frac{p^2}{1-p}\! 6+\frac{p^2}{1-p}\!
entropija \frac{-(1-p)\log_2 (1-p) - p \log_2 p}{p}\!
funkcija generiranja momentov
(mgf)
\frac{pe^t}{1-(1-p) e^t}\! \frac{p}{1-(1-p)e^t}\!
karakteristična funkcija \frac{pe^{it}}{1-(1-p)\,e^{it}}\! \frac{p}{1-(1-p)\,e^{it}}\!
Opomba: Za poskuse, ki so potrebni,
da pridemo do prvega uspešnega poskusa
(1. oblika)
Za neuspešne poskuse, ki so potrebni,
da pridemo do prvega uspešnega poskusa
(2. oblika)

Geometrična porazdelitev je diskretna porazdelitev (nezvezna). Poznani sta dve obliki geometrične verjetnostne porazdelitve:

  • verjetnostna porazdelitev števila X Bernoullijevih poskusov, ki so potrebni, da pridemo do prvega uspešnega izzida
  • verjetnostna porazdelitev števila (Y = X – 1) neuspehov pred prvim uspešnim izzidom

Prvo obliko geometrične porazdelitve lahko opišemo tudi na naslednji način: Bernoullijev poskus ponavljamo, vsak poskus ima verjetnost p za uspeh. Slučajna spremenljivka X je število poskusov, ki so potrebni za prvi uspeh. Geometrična porazdelitev nam pa opisuje porazdelitev te slučajne spremenljivke.

Obeh oblik geometrične porazdelitve ne smemo zamenjevati. Pred uporabo se je potrebno prepričati katera vrsta geometrične porazdelitve nam v obravnavanem primeru bolj odgovarja.

Če je verjetnost za uspeh pri vsakem poskusu enaka p, potem je verjetnost, da bomo pri k-tem poskusu dosegli uspeh, enaka

P(X = k) = (1 - p)^{k-1}\,p\,

kjer je

  • P(X=k) \! verjetnost, da bo slučajna spremenljivka X pri k-tem poskusu dala uspešen izzid
  • k je enak 1, 2, 3, …

Podobno je verjetnost , da bomo imeli k neuspehov pred prvim uspehom enaka

P(Y=k) = (1 - p)^k\,p\,

kjer pa je

  • P(Y=k) \! verjetnost, da bo za slučajno spremenljivko Y potrebnih k neuspehov pred prvim uspehom
  • k = 0, 1, 2, 3, ….

Lastnosti[uredi | uredi kodo]

Funkcija verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Funkcija verjetnosti je v prvem primeru enaka

(1 - p)^{k-1}\,p\!

v drugem pa

(1 - p)^{k}\,p\!


Zbirna funkcija verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Zbirno funkcijo verjetnosti lahko za prvo obliko zapišemo kot

1-(1 - p)^k\!

za drugo obliko pa kot

1-(1 - p)^{k+1}\!.

Pričakovana vrednost[uredi | uredi kodo]

Pričakovana vrednost je enaka

\frac{1}{p}\! za prvo oziroma
\frac{1-p}{p}\! za drugo obliko porazdelitve.

Varianca[uredi | uredi kodo]

Varianca je enaka

\frac{1-p}{p^2}\! za prvo obliko porazdelitve in
\frac{1-p}{p^2}\! za drugo obliko porazdelitve.

Koeficient simetrije[uredi | uredi kodo]

Koeficient simetrije je enak

\frac{2-p}{\sqrt{1-p}}\! za prvo obliko porazdelitve in
\frac{2-p}{\sqrt{1-p}}\! za drugo obliko.

Sploščenost[uredi | uredi kodo]

Sploščenost je enaka

6+\frac{p^2}{1-p}\! za prvo obliko,
6+\frac{p^2}{1-p}\! pa za drugo obliko porazdelitve.

Povezave z drugimi porazdelitvami[uredi | uredi kodo]

Negativna binomska porazdelitev[uredi | uredi kodo]

Geometrična porazdelitev Y je posebni primer negativne binomske porazdelitve z r = 1:

\mathrm{Geometric}(p) = \mathrm{Neg Bin}(1, p).\,.

Eksponentna porazdelitev[uredi | uredi kodo]

Eksponentna porazdelitev je podobna porazdelitev zvezne slučajne spremenljivke.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]

Glej tudi[uredi | uredi kodo]