Negativna binomska porazdelitev

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Negativna binomska porazdelitev (vključno s Pascalovo porazdelitvijo in Pólyajevo porazdelitvijo) je diskretna verjetnostna porazdelitev neuspešnih Bernoullijevih poskusov (dva možna izzida: uspešno in neuspešno ali da in ne), v katerih želimo dobiti vnaprej dano število uspehov.

Negativno binomsko porazdelitev poznamo v dveh verzijah (glej pregled lastnosti porazdelitve na desni strani):

  • v prvi verziji štejemo število neuspehov pred r-tim uspehom
  • v drugi verziji pa štejemo število poskusov v katerih se zgodi r-ti uspeh
Negativna binomska porazdelitev
Negative binomial sl.svg
Rdeča črta pomeni srednjo (pričakovano) vrednost, zelena črta je približno 2σ.
oznaka NegBin (r,p) \!
parametri r > 0\! (realno število)
0<p<1\! (realno število)
r > 0\! (realno število)
0<p<1\! (celo število)
interval k \in \{0,1,2,\ldots\}\! k \in \{r,r+1,r+2,\ldots\}\!
funkcija verjetnosti
(pdf)
{k+r-1 \choose r-1} p^r (1-p)^k \! {k-1 \choose r-1} p^r (1-p)^{k-r} \!
zbirna funkcija verjetnosti
(cdf)
I_p(r,k+1)\! kjer je I_p(x,y) \! regulirana nepopolna funkcija beta I_p(r,k-r+1) \!
pričakovana vrednost r\,\frac{1-p}{p} \frac{r}{p}
mediana
modus \lfloor(r-1)\,(1-p)/p\rfloor\text{ kadar je je}r>1
0\text{ kadar je}r\leq 1
varianca r\,\frac{1-p}{p^2} r\,\frac{1-p}{p^2}
simetrija \frac{2-p}{\sqrt{r\,(1-p)}}\! \frac{2-p}{\sqrt{r\,(1-p)}}\!
sploščenost
(eksces)
\frac{2-p}{\sqrt{r\,(1-p)}}\! \frac{6}{r} + \frac{p^2}{r\,(1-p)}\!
entropija
funkcija generiranja momentov
(mgf)
\left(\frac{p}{1-(1-p) e^t}\right)^r \! \left(\frac{p e^t}{1-(1-p) e^t}\right)^r \!
karakteristična funkcija \left(\frac{p}{1-(1-p) e^{i\,t}}\right)^r \! \left(\frac{p e^{i\,t}}{1-(1-p) e^{i\,t}}\right)^r \!
Opomba: Število neuspehov pred r-tim uspehom (1. verzija) Število poskusov, ki so potrebni,
da dobimo r uspehov (2. verzija)


Predpostavimo, da smo izvedli k poskusov. Verjetnost za uspeh (označimo jo s p) je ista pri vsakem poskusu. Izzid enega poskusa ne vpliva na izzid ostalih poskusov (neodvisni poskusi). Slučajna spremenljivka je v tem primeru število poskusov, da dobimo r uspehov (vnaprej določenih). Verjetnostna porazdelitev te slučajne spremenljivke se podreja negativni binomski porazdelitvi (poskus te vrste pa imenujemo tudi negativni binomski poskus).

Pascalova porazdelitev in Polyajeva porazdelitev sta poseben primer negativne binomske porazdelitve. Nekateri pa negativno binomsko porazdelitev imenujejo kar Pascalova ali Polyajeva porazdelitev.

Primer[uredi | uredi kodo]

Kot primer si oglejmo metanje kovanca, ki lahko pade na glavo ali številko (stran kovanca, ki je zgoraj, in se vidi). Verjetnost je za obe strani enaka (p = 0,5). Recimo, da je uspeh, če pade na glavo. Štejemo padce kovanca na glavo. Poskus ponavljamo tako dolgo, da dobimo na primer 5 padcev kovanca na glavo. Število poskusov metanja kovanca k je lahko katerokoli celo število med r in pozitivno neskončno vrednostjo (k \in \{0,1,2,\ldots\}\! za prvo verzijo oziroma k \in \{r,r+1,r+2,\ldots\}\!).

Lastnosti[uredi | uredi kodo]

Funkcija verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Verjetnost, da je bilo pri n izvedenih poskusih k uspešnih in če je verjetnost za uspešnost posameznega poskusa enaka p, lahko za slučajno spremenljivko Y zapišemo funkcijo verjetnosti f(k, n, p) kot

 f(k, n, p) = \Pr(X = k) = {k-1 \choose r-1} p^r (1-p)^{k-r}\quad\text{za}k = r, r+1, r+2, \dots

kjer je   {n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}.

Če pa z Y označimo slučajno spremenljivko za Y = X – r neuspehov pred r-tim uspehom je

\Pr(Y = k) = {k+r-1 \choose r-1} p^r (1-p)^k \quad\text{za }k = 0, 1, 2, \dots


Zbirna funkcija verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Zbirno funkcijo verjetnosti lahko za prvo verzijo zapišemo kot I_p(r,k+1)\text{ kjer je}I_p(x,y) je regulirana nepopolna funkcija beta ali I_p(r,k-r+1) \! za drugo verzijo porazdelitve.

Pričakovana vrednost[uredi | uredi kodo]

Pričakovana vrednost je enaka r\,\frac{1-p}{p} za prvo oziroma \frac{r}{p} za drugo verzijo porazdelitve.

Varianca[uredi | uredi kodo]

Varianca je enaka r\,\frac{1-p}{p^2}za obe verziji porazdelitve.

Koeficient simetrije[uredi | uredi kodo]

Koeficient simetrije je enak \frac{2-p}{\sqrt{r\,(1-p)}}\! za obe verziji porazdelitve.

Sploščenost[uredi | uredi kodo]

Sploščenost je enaka \frac{2-p}{\sqrt{r\,(1-p)}}\! za prvo verzijo, \frac{6}{r} + \frac{p^2}{r\,(1-p)}\! pa za drugo verzijo porazdelitve.

Povezave z drugimi porazdelitvami[uredi | uredi kodo]

Geometrijska porazdelitev[uredi | uredi kodo]

Kadar je r = 1, preide negativna binomska porazdelitev v geometrijsko porazdelitev:

\mathrm{Geometric}(p) = \mathrm{Neg Bin}(1, p).\,.

Poissonova porazdelitev[uredi | uredi kodo]

Negativna binomska porazdelitev prehaja v Poissonovo porazdelitev v naslednjem primeru:

\mathrm{Poisson}(\lambda) = \lim_{r \to \infty} \mathrm{NegBin}(r, r/(\lambda+r)).\,.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]


Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]