Negativna binomska porazdelitev

Negativna binomska porazdelitev (vključno s Pascalovo porazdelitvijo in Pólyajevo porazdelitvijo) je diskretna verjetnostna porazdelitev neuspešnih Bernoullijevih poskusov (dva možna izzida: uspešno in neuspešno ali da in ne), v katerih želimo dobiti vnaprej dano število uspehov.

Negativno binomsko porazdelitev poznamo v dveh verzijah (glej pregled lastnosti porazdelitve na desni strani):

• v prvi verziji štejemo število neuspehov pred r-tim uspehom
• v drugi verziji pa štejemo število poskusov v katerih se zgodi r-ti uspeh

Negativna binomska porazdelitev
Rdeča črta pomeni srednjo (pričakovano) vrednost, zelena črta je približno 2σ.
oznaka	$NegBin (r,p) \!$
parametri	$r > 0\!$ (realno število) $0<p<1\!$ (realno število)	$r > 0\!$ (realno število) $0<p<1\!$ (celo število)
interval	$k \in \{0,1,2,\ldots\}\!$	$k \in \{r,r+1,r+2,\ldots\}\!$
funkcija verjetnosti (pdf)	${k+r-1 \choose r-1} p^r (1-p)^k \!$	${k-1 \choose r-1} p^r (1-p)^{k-r} \!$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	$I_p(r,k+1)\!$ kjer je $I_p(x,y) \!$ regulirana nepopolna funkcija beta	$I_p(r,k-r+1) \!$
pričakovana vrednost	$r\,\frac{1-p}{p}$	$\frac{r}{p}$
mediana
modus	$\lfloor(r-1)\,(1-p)/p\rfloor\text{ kadar je je}r>1$ $0\text{ kadar je}r\leq 1$
varianca	$r\,\frac{1-p}{p^2}$	$r\,\frac{1-p}{p^2}$
simetrija	$\frac{2-p}{\sqrt{r\,(1-p)}}\!$	$\frac{2-p}{\sqrt{r\,(1-p)}}\!$
sploščenost (eksces)	$\frac{2-p}{\sqrt{r\,(1-p)}}\!$	$\frac{6}{r} + \frac{p^2}{r\,(1-p)}\!$
entropija
funkcija generiranja momentov (mgf)	$\left(\frac{p}{1-(1-p) e^t}\right)^r \!$	$\left(\frac{p e^t}{1-(1-p) e^t}\right)^r \!$
karakteristična funkcija	$\left(\frac{p}{1-(1-p) e^{i\,t}}\right)^r \!$	$\left(\frac{p e^{i\,t}}{1-(1-p) e^{i\,t}}\right)^r \!$
Opomba:	Število neuspehov pred r-tim uspehom (1. verzija)	Število poskusov, ki so potrebni, da dobimo r uspehov (2. verzija)

Predpostavimo, da smo izvedli k poskusov. Verjetnost za uspeh (označimo jo s p) je ista pri vsakem poskusu. Izzid enega poskusa ne vpliva na izzid ostalih poskusov (neodvisni poskusi). Slučajna spremenljivka je v tem primeru število poskusov, da dobimo r uspehov (vnaprej določenih). Verjetnostna porazdelitev te slučajne spremenljivke se podreja negativni binomski porazdelitvi (poskus te vrste pa imenujemo tudi negativni binomski poskus).

Pascalova porazdelitev in Polyajeva porazdelitev sta poseben primer negativne binomske porazdelitve. Nekateri pa negativno binomsko porazdelitev imenujejo kar Pascalova ali Polyajeva porazdelitev.

Primer

Kot primer si oglejmo metanje kovanca, ki lahko pade na glavo ali številko (stran kovanca, ki je zgoraj, in se vidi). Verjetnost je za obe strani enaka (p = 0,5). Recimo, da je uspeh, če pade na glavo. Štejemo padce kovanca na glavo. Poskus ponavljamo tako dolgo, da dobimo na primer 5 padcev kovanca na glavo. Število poskusov metanja kovanca k je lahko katerokoli celo število med r in pozitivno neskončno vrednostjo $(k \in \{0,1,2,\ldots\}\!$ za prvo verzijo oziroma $k \in \{r,r+1,r+2,\ldots\}\!)$.

Lastnosti

Funkcija verjetnosti

Verjetnost, da je bilo pri n izvedenih poskusih k uspešnih in če je verjetnost za uspešnost posameznega poskusa enaka p, lahko za slučajno spremenljivko Y zapišemo funkcijo verjetnosti f(k, n, p) kot

$f(k, n, p) = \Pr(X = k) = {k-1 \choose r-1} p^r (1-p)^{k-r}\quad\text{za}k = r, r+1, r+2, \dots$

kjer je ${n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}.$

Če pa z Y označimo slučajno spremenljivko za Y = X – r neuspehov pred r-tim uspehom je

$\Pr(Y = k) = {k+r-1 \choose r-1} p^r (1-p)^k \quad\text{za }k = 0, 1, 2, \dots$

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirno funkcijo verjetnosti lahko za prvo verzijo zapišemo kot $I_p(r,k+1)\text{ kjer je}I_p(x,y)$ je regulirana nepopolna funkcija beta ali $I_p(r,k-r+1) \!$ za drugo verzijo porazdelitve.

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je enaka $r\,\frac{1-p}{p}$ za prvo oziroma $\frac{r}{p}$ za drugo verzijo porazdelitve.

Varianca

Varianca je enaka $r\,\frac{1-p}{p^2}$za obe verziji porazdelitve.

Koeficient simetrije

Koeficient simetrije je enak $\frac{2-p}{\sqrt{r\,(1-p)}}\!$ za obe verziji porazdelitve.

Sploščenost

Sploščenost je enaka $\frac{2-p}{\sqrt{r\,(1-p)}}\!$ za prvo verzijo, $\frac{6}{r} + \frac{p^2}{r\,(1-p)}\!$ pa za drugo verzijo porazdelitve.

Povezave z drugimi porazdelitvami

Geometrijska porazdelitev

Kadar je r = 1, preide negativna binomska porazdelitev v geometrijsko porazdelitev:

$\mathrm{Geometric}(p) = \mathrm{Neg Bin}(1, p).\,$.

Poissonova porazdelitev

Negativna binomska porazdelitev prehaja v Poissonovo porazdelitev v naslednjem primeru:

$\mathrm{Poisson}(\lambda) = \lim_{r \to \infty} \mathrm{NegBin}(r, r/(\lambda+r)).\,$.

Glej tudi

• verjetnostna porazdelitev
• seznam verjetnostnih porazdelitev

Zunanje povezave

• Kalkulator za binomsko porazdelitev (v angleščini)