Fourierjeva vrsta

Prvi štirje približki Fourirjevih vrst za pravokotni val.

Fourierjeve vrste v matematiki omogočajo razstavljanje poljubne periodične funkcije ali periodičnega signala v vsoto (po možnosti končno) skupine periodičnih funkcij kot sta sinus in kosinus. Proučevanje Fourierjevih vrst je veja Fourierjeve analize.

Tako lahko na primer funkcijo $S(x)$ razvijemo v neskončno vrsto po sinusih:

$S(x) = b_1\sin x + b_2 \sin 2x + b_3 \sin 3x + \cdots = \sum_{n=1}^\infty b_n \sin nx \!\, .$

Lahko pa neko drugo funkcijo $C(x)$ razvijemo v neskončno vrsto po kosinusih:

$C(x) = b_0 + b_1\cos x + b_2 \cos 2x + b_3 \cos 3x + \cdots = a_0 + \sum_{n=1}^\infty b_n \cos nx \!\, .$

Pri tem pa obe funkciji ohranita nekatere osnovne značilnosti, kot so periodičnost, lihost (ali sodost), vrednost pri $x= 0 \,$ in $x= \pi \,$.

Imenujejo se po francoskem fiziku in matematiku Josephu Fourierju (1768 - 1830).

Definicija

Fourierjev obrazec za periodične funkcije

Imamo periodično funkcijo $f(x)$ s periodo $2 \pi$, ki je integrabilna na intervalu $[- \pi, \pi]$. Števila:

$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x) \cos(nx)\, dx, \quad n \ge 0 \!\,$

in:

$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x) \sin(nx)\, dx, \quad n \ge 1 \!\,$

imenujemo Fourierjevi koeficienti za funkcijo $f(x)$.

Včasih uporabljamo tudi Fourierjeve vrste za $f \,$, ki jih označujemo z:

$(S_N f)(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^N \, [a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)], \quad N \ge 0 \!\, .$

Delne vsote za $f \,$ so trigonometrični polinomi. Pričakuje se, da funkcije $S_N \,$ za $f \,$ dajejo približek, ki se približuje vrednosti za $f \,$, ko gre $N \,$ proti neskončnosti. Neskončna vsota v obliki:

$\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \, [a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)] \!\,$

se imenuje Fourierjeva vrsta za $f \,$.

Fourierjeva vrsta ne konvergira vedno, saj se včasih celo za neko vrednost $x_0 \,$ vsota vrste v tej točki razlikuje od vrednosti $f(x_0) \,$ te funkcije. Harmonska analiza je področje, ki se ukvarja s konvergenco Fourierjevih vrst. Kadar je kvadrat funkcije integrabilen na [interval]]u $[- \pi, \pi] \,$, takrat Fourierjeva vrsta konvergira skoraj v vsaki točki. Predpostavimo lahko, da Fourierjeva vrsta konvergira v vsaki točki razen v točkah nezveznosti.

Zgled periodične funkcije, ki se imenuje žagasti val.

Animacija prvih petih zaporednih delnih Fourierjevih vrst.

Zgled

Za zgled si oglejmo žagasti val in ga razvijmo v Fourierjevo vrsto. Žagasti val opišemo z naslednjo funkcijo:

$f(x) = x, \quad \mathrm{za} -\pi < x < \pi \!\, ,$

$f(x + 2\pi) = f(x), \quad \mathrm{za} -\infty < x < \infty \!\, .$

V tem primeru dobimo za Fourierjeve koeficiente:

$\begin{align} a_0 &{} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\,dx = 0. \\ a_n &{} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x \cos(nx)\,dx = 0, \quad n \ge 0. \\ b_n &{}= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x \sin(nx)\, dx = -\frac{2}{n}\cos(n\pi) + \frac{2}{\pi n^2}\sin(n\pi) = 2 \, \frac{(-1)^{n+1}}{n}, \quad n \ge 1.\end{align}$

Lahko se dokaže, da Fourierjeva vrsta konvergira k vrednosti $f(x) \,$ v vsaki točki, kjer je funkcija $f \,$ diferenciabilna. Torej lahko zapišemo:

$\begin{align} f(x) &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos\left(nx\right)+b_n\sin\left(nx\right)\right] \\ &=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx), \quad \mathrm{za} \quad x - \pi \notin 2 \pi Z. \end{align}$

Eksponentna Fourierjeva vrsta

Uporabimo Eulerjev obrazec, ki ima obliko:

$e^{inx} = \cos(nx)+i\sin(nx) \!\, ,$

kjer je:

• $i \,$ imaginarna enota

S tem dobimo bolj zgoščeno obliko za Fourierjevo vrsto:

$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{inx} \!\, .$

Fourierjevi koeficienti pa so:

$c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-inx}\, dx \!\, .$

$a_n = { c_n + c_{-n} } \quad \text{ za }n=0,1,2,\dots \!\,$

$b_n = i( c_{n} - c_{-n} ) \quad \text{ za }n = 1,2,\dots \!\,$

in:

$c_n = \begin{cases} \frac{1}{2}(a_n - i b_n) & n > 0 \\ \quad \frac{1}{2}a_0 & n = 0 \\ \frac{1}{2}(a_{-n} + i b_{-n}) & n < 0 \\ \end{cases}$

Zelo primerno je uporabiti obliko za $f \,$ tako, da dobimo obrazec v obliki:

$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \hat{f}(n)\cdot e^{inx}\,$.

V tehniki pogosto uporabljamo naslednjo obliko

$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F[n]\cdot e^{inx} \!\, ,$

kjer:

• $F[n] \,$ pomeni, da je uporabljena nezvezna domena frekvenc. Zelo pogosto v tehniki spremenljivka $x \,$ predstavlja čas.

Fourierjeve vrste v splošnem intervalu

Obravnavajmo splošni interval $[a, a + \tau] \,$, kjer je s periodo $\tau \,$ za vsa realna števila definirana funkcija $g(x) \,$ s kompleksnimi koeficienti $G(n) \,$. Lahko zapišemo:

$g(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty G[n]\cdot e^{i 2\pi \frac{n}{\tau} x} \!\, .$ Če je funkcija kvadratno integrabilna (velja: $\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 \, dx < \infty,$) v intervalu $[a, a + \tau] \,$, jo lahko v tem intervalu prikažemo z zgornjim obrazcem. To pa pomeni, da takrat, ko dobimo koeficiente za funkcijo $h(x) \,$ z:

$G[n] = \frac{1}{\tau}\int_a^{a+\tau} h(x)\cdot e^{-i 2\pi \frac{n}{\tau} x}\, dx \!\, ,$

potem je $g(x) \,$ povsod na intervalu $[a, a + \tau] \,$ enak $h(x) \,$. Iz tega sledi, da ima $h(x) \,$ periodo enako $\tau \,$ in, da naslednje

• sta $g(x) \,$ in $h(x) \,$ povsod enaka, razen na mestih vezveznosti
• $a \,$ lahko poljubno izberemo. Najpogosteje se izbere $a = 0 \,$ in $a = \tau /2 \,$.

Fourierjeve vrste v kvadratu

Definiramo lahko tudi Fourierjeve vrste za dve spremenljivki x in y v kvadratu $[-\pi, \pi] \times [-\pi, \pi] \,$:

$f(x,y) = \sum_{j,k \in \mathbb{Z}} c_{j,k}e^{ijx}e^{iky} \!\, ,$

kjer je:

$c_{j,k} = {1 \over 4 \pi^2} \int_{-\pi}^\pi \int_{-\pi}^\pi f(x,y) e^{-ijx}e^{-iky}\, dx \, dy \!\, .$

Hilbertov prostor

Če obravnavamo Hilbertove prostore, je množica funkcij $\{ e_n = e^{i n x},n\in\mathbb{Z}\}$ tvori ortonormalno bazo prostora $L^2([-\pi,\pi])$ za kvadratno integrabilne funkcije v $[-\pi, \pi]$. Ta prostor je Hilbertov prostor z notranjim produktom za poljubna dva elementa $f$ in $g$, ki je definiran kot:

$\langle f,\, g \rangle \;\stackrel{\mathrm{def}}{=} \; \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\overline{g(x)}\,dx.$

Osnovne Fourierjeve vrste v Hilbertovih prostorih lahko zapišemo kot:

$f=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \langle f,e_n \rangle \, e_n \!\, .$

To pa je enakovredno s kompleksno eksponentno obliko (glej zgoraj). Oblika s sinusom in kosinusom tvori ortogonalno množico:

$\int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx)\, \cos(nx)\, dx = \pi \delta_{mn}, \quad m, n \ge 1, \!\,$

$\int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx)\, \sin(nx)\, dx = \pi \delta_{mn}, \quad m, n \ge 1 \!\,$

$\int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx)\, \sin(nx)\, dx = 0 \, \!\, ,$

kjer je:

• $\delta_{mn}$ Kroneckerjev delta.

Značilnosti

Funkcija $f \,$ pripada $C^k(\mathbb{T})$, če je $f \,$ funkcija s periodo $2\pi$ nad $\mathbb {R}$ in, če je ta k-krat odvedljiva in je k-ti odvod zvezen. Označimo n-ti Fourierjev koeficient z $\widehat{f}(n)$.

• če je $f \,$ periodična liha funkcija, potem so $a_n = 0 \,$ za vse $n \,$
• če je $f \,$ periodična soda funkcija, potem so $b_n = 0 \,$ za vse $n \,$
• če je $f \,$ integrabilna funkcija velja $\lim_{|n|\rightarrow \infty}\hat{f}(n)=0$ ter $\lim_{n\rightarrow +\infty}a_n=0$ in $\lim_{n\rightarrow +\infty}b_n=0.$ To je Riemann-Lebesqueov izrek
• dvojno neskončno zaporedje $\{a_n\}\,$ v $c_o \,$ je zaporedje Fourierjevih koeficientov funkcije v $L^1[0,2\pi]$, če, in samo, če je to konvolucija v $\ell^2(\mathbb{Z})$
• Parsevalov teorem: če je $f \in L^2([-\pi,\pi])$, potem je tudi $\sum_{n=-\infty}^{\infty} |\hat{f}(n)|^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2 \, dx$
• Plancherelov teorem: če so $c_0,\, c_{\pm 1},\, c_{\pm 2},\ldots$ koeficienti in velja $\sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2 < \infty$, potem obstoja funkcija $f\in L^2([-\pi,\pi])$ tako, da velja $\hat{f}(n) = c_n$ za vsak $n \,$
• prvi konvolucijski teorem pravi, da takrat, ko sta $f \,$ in $g \,$ v L¹([−π, π]), potem velja tudi $\widehat{f*g}(n) = 2\pi\hat{f}(n)\hat{g}(n)$, kjer je ƒ ∗ g konvolucija s periodo $2\pi$ funkcij $f \,$ in $g \,$
• drugi konvolucijski teorem pravi, da je $\widehat{f\cdot g} = \hat{f}*\hat{g}$

Posplošitve

Obstoja več vrst posplošitev Fourierjevih vrst. Njihovo proučevanje se imenuje harmonska analiza.

Približki in konvergenca Fourierjevih vrst

Glej tudi: Gibbsov pojav

Gibbsov pojav

Približek reda 10 za pravokotni val.

Približek reda 50 za pravokotni val.

Približek reda 250 za pravokotni val.

Zelo pomembno vprašanje je povezano s konvergenco Fourierjevih vrst. Pogosto moramo zamenjati neskončno vrsto $\sum_{-\infty}^\infty$ s končno :$(S_N f)(x) = \sum_{n=-N}^N \hat{f}(n) e^{inx}.$ Takšno vrsto imenujemo delna vsota. Zanima nas pa kako vrednost $(S_N f)(x)$ konvergira k $f(x)$ ko gre $N\,$ proti neskončnosti.

Divergenca Fourierjevih vrst

Fourierjeve vrste so izredno dobro konvergentne. Vrste, ki bi bile divergentne so zelo redke. V letu 1922 je ruski matematik Andrej Nikolajevič Kolmogorov (1903 – 1987) v enem svojih del podal primer integrabilne funkcije, katere Fourierjeva vrsta je skoraj povsod divergentna.

Glej tudi

• Laurentova vrsta
• harmonska analiza
• spektralna teorija
• Fourierjeva transformacija
• Fejérjev teorem
• Dichletovo jedro

Zunanje povezave

• Fourierjeva vrsta (v slovenščini)
• Fourierjeva vrsta na e-študij (v slovenščini)
• Fourierjeva vrsta na MathWorld (v angleščini)
• Apleti za prikaz Fourierjevih vrst (v angleščini)
• Fourierjeve vrste (v angleščini)
• Učbenik (v angleščini)
• Maths Online (v angleščini)
• Fourierjeve vrste in Fourierjevi integrali }(v angleščini)